Wissen

• Definition/Begriff einer Menge, Begriff des Elements einer Menge
• die Menge $\mathbb{N}$ kennen
• Notation für Mengen (aufzählend, beschreibend)
• Sprechweisen (z.B. wie liest man $\{x^2 \mid x \in \mathbb{N}\}$?)
• Begriff der Kardinalität = Mächtigkeit einer Menge
• Begriff der Teilmenge; wie viele Teilmengen eine endliche Menge hat
• Kenntnis von Mengendiagrammen (inklusive Venn-Diagramme)
• Definition der Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt, Differenzmenge, Komplement) sowie deren Veranschaulichung in Mengendiagrammen
• Bedeutung der Symbole $\in, =, \subset, \cup, \cap, \setminus, \overline{A}$

Können

• Zwischen unterschiedlichen Beschreibungen von Mengen wechseln können (Textbeschreibung, aufzählende Form, beschreibende Form, Sprechweise); z. B. “Gib die Menge aller geraden Zahlen in aufzählender/beschreibender Form an”).
• entscheiden können, ob zwei Mengen gleich sind bzw. ob die eine Menge Teilmenge einer anderen Teilmenge ist; dabei können die beiden Mengen explizit gegeben sein oder sie können “beliebig” sein (z.B. “Gilt $A \cap B \subset A$ für alle Mengen $A$ und $B$?”)
• alle Teilmengen einer Menge angeben können
• die Kardinalität/Mächtigkeit von Mengen bestimmen können
• Durchschnitte, Vereinigungen, Differenzmengen, Komplemente gegebener Mengen bestimmen können
• die Definition der Mengenoperationen wiedergeben können
• Mengenterme (so etwas wie $A \cap (B \setminus \overline{C})$) in Venn-Diagramme einzeichnen können und umgekehrt schraffierte Bereiche durch Mengenterme beschreiben können
• gegebene Mengen durch ein Mengendiagramm veranschaulichen (etwa die Mengen rechtwinkliger bzw. gleichseitiger bzw. beliebiger Dreiecke)

Wissen:

• Begriffe und Bezeichnungen der Planimetrie
• Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal; beachte: beim “Konstruieren mit Zirkel und Lineal” ist kein Abmessen von Längen oder Winkeln erlaubt.
• Definition eines (rechtwinkligen = kartesischen) Koordinatensystems; wie Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.
• Wie Standardgebilde der konstruktiven Geometrie (etwa Mittelsenkrechte, Kreis, …) als geometrische Orte beschrieben werden können (Tabelle in 2.4.1).
• Die Definitionen von Parabel, Ellipse und Hyperbel als geometrische Orte und die zugehörigen Bezeichnungen (Brennpunkt(e), Leitlinie, Asymptote, Scheitel).

Können:

• Konstruktionsbeschreibungen befolgen
• Ordentliche, genügend grosse, übersichtliche Zeichnungen erstellen! (Du bist selbst dafür verantwortlich, die nötigen Zeichenwerkzeuge Zirkel, Lineal, Geodreieck in guter Qualität dabei zu haben.)
• Konstruktionsbeschreibungen aufschreiben (akzeptiert wird neben der im Skript verwendeten Kurzform auch eine normale Beschreibung durch Text); wichtig ist, dass aus den gegebenen Objekten Schritt für Schritt klar ist, was auf welche Weise neu konstruiert wird und ob es einen neuen Namen bekommt; jemand anderes sollte die Beschreibung befolgen können.
• Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und die Koordinaten (also $x$- und $y$-Koordinate) von Punkten ablesen.
• Geometrische Objekte mit bestimmten geometrischen Eigenschaften konstruieren bzw. skizzieren (vgl. die meisten Aufgaben im Abschnitt 2.4)

Man beachte, dass alle Konstruktionen, wie aus den Musterlösungen ersichtlich ist, in dem Sinne exakt sind, dass nirgendwo ein Punkt (etwa ein Mittelpunkt eines Kreises) oder ein Radius oder ähnliches “geschätzt”/“geraten” wird. “Geschätzte”/“geratene” Lösungen in der Prüfung geben keine Punkte. Wenn keine Konstruktionsbeschreibung verlangt ist, muss aus der Zeichnung ersichtlich sein, was gemacht wurde.

Wissen

• Rechengesetze für natürliche Zahlen
• Was es bedeutet, dass ein Rechenzeichen kommutativ bzw. assoziativ ist
• Potenz-vor-Punkt-vor-Strich-Regel
• Division mit Rest (= ganzzahlige Division): Ganzzahlquotient, Rest der Division
• Definition von Teilern und Vielfachen
• Teilbarkeitsregeln durch 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
• Definition von ggT und kgV
• Definition einer Primzahl
• Algorithmus: Sieb des Eratosthenes
• Satz von Euklid (Unendlichkeit der Menge der Primzahlen) inklusive Beweis
• Definition von Potenzen inklusive zugehörige Begriffe ($e$-te Potenz, Basis, Exponent)
• Potenzgesetze inklusive Beweis
• Satz über die Primfaktorzerlegung (PFZ) inklusive zugehörige Begriffe (Primfaktor)
• Algorithmus zur Berechnung von ggT und kgV mit Hilfe der Primfaktorzerlegung
• $a \cdot b = ggT(a,b) \cdot kgV(a,b)$
• Gaußsche Summenformel inklusive Beweis

Können

• Die Aussagen aller behandelten Sätze kennnen und wiedergeben können (Voraussetzungen, d.h. was ist gegeben? was gilt dann?)
• Beweise der folgenden Sätze wiedergeben können: Satz von Euklid (muss nicht so ausführlich wie im Skript sein, jedoch muss die Hauptidee klar sein: Warum das Produkt der bekannten Primzahlen plus Eins); Potenzgesetze; evtl. Gaußsche Summenformel
• Berechnungen durchführen, dabei Potenz-vor-Punkt-vor-Strich-Regel beachten
• entscheiden können, ob ein Rechenzeichen kommutativ bzw. assoziativ ist
• Potenzgesetze anwenden können
• “falsche Rechengesetze” durch Gegenbeispiele wiederlegen können
• Teiler und Vielfache einer natürlichen Zahl bestimmen
• Teilbarkeitsregeln anwenden können
• ggT und kgV ausrechnen können
• Anwendungen der PFZ: Entscheiden, ob eine Zahl eine Quadrat- oder Kubizahl oder höhere Potenz ist; die Teiler einer Zahl bestimmen; Anzahl der Teiler einer Zahl bestimmen; ggT und kgV bestimmen
• die obengenannten Algorithmen durchführen können (Sieb des Eratosthenes und ggT und kgV per PFZ)
• Die Formel $a \cdot b = ggT(a,b) \cdot kgV(a,b)$ anwenden können (vierte Zahl bestimmen, falls drei Zahlen bekannt)
• Gaußsche Summenformel anwenden können, einfache Variationen davon

Wissen:

• Eigenschaften von Winkeln (S. 9 im Skript) inklusive Begriffe
• Mathematisch positiver Drehsinn
• Benennung von Winkeln und Kreisbögen (math. pos. Drehsinn relevant)
• Standardbezeichnungen im Dreieck (S. 9 im Skript), mathematisch positiven Drehsinn beachten bei der Benennung der Eckpunkte
• Winkel und Seitenlängen in gleischschenkligen bzw. gleichseitigen Dreiecken
• Satz von Thales inklusive Beweis
• Umkehrung des Satzes von Thales (ohne Beweis, d.h. Beweis muss nicht wiedergegeben werden können)
• Umformulierung von Thales + Umkehrung als Gleichheit von Musterlösungen
• Begriffe: Zentriwinkel, Peripheriewinkel, Sehne-Tangente-Winkel
• Kreiswinkelsätze (ohne Beweis)
• Ortsbogen über einer Strecke zu einem Winkel
• Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes (ohne Beweis)
• Peripheriewinkelsatz als Gleichheit von Mengen

Können:

• Die Aussagen aller behandelten Sätze kennnen und inklusive sinnvoller illustrierender Skizze wiedergeben können (Voraussetzungen, d.h. was ist gegeben? was gilt dann?)
• Beweise der folgenden Sätze wiedergeben können: Satz von Thales
• Ordentliche, genügend grosse, übersichtliche Zeichnungen erstellen! (Du bist selbst dafür verantwortlich, die nötigen Zeichenwerkzeuge Zirkel, Lineal, Geodreieck in guter Qualität dabei zu haben.)
• Hand-Skizzen zur Ideenfindung erstellen
• Winkel ermitteln können (vgl. Aufgaben A22-A29)
• Satz von Thales und Umkehrung anwenden können (etwa zur Konstruktion von Tangente durch einen Punkt an einen Kreis oder von Tangenten an zwei Kreise)
• den Ortsbogen zu einem gegebenen Winkel konstruieren können (Aufgabe A35)
• Kreiswinkelsätze anwenden können (inklusive Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes) (vgl. Aufgaben ab A36)
• Lösungen zumindest stichwortartig begründen können

Man beachte, dass alle Konstruktionen, wie aus den Musterlösungen ersichtlich ist, in dem Sinne exakt sind, dass nirgendwo ein Objekt (etwa eine Tangente) oder ähnliches “geschätzt”/“geraten” wird. “Geschätzte”/“geratene” Lösungen in der Prüfung geben keine Punkte. Wenn keine Konstruktionsbeschreibung verlangt ist, muss aus der Zeichnung ersichtlich sein, was gemacht wurde.

Wissen

• Gaußsche Summenformel inklusive Beweis
• Bedeutung der Zeichen $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
• Inklusionen $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
• Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division) rationaler Zahlen
• geometrische Interpretation von Addition, Multiplikation und Subtraktion ($a-b$ = Pfeil von $b$ nach $a$).
• Kürzen und Erweitern
• vollständig gekürzter Bruch
• gleichnamige Brüche
• Gegenzahl, Kehrwert
• Betrag (geometrische Bedeutung: $|a|$ = Länge des Pfeils = Abstand vom Ursprung; $|a-b|$ = Länge des Verbindungspfeils = Abstand von $a$ und $b$).
• Potenzsummenformel (= $n$-te Partialsumme der geometrischen Reihe) inklusive Beweis

Können

• Mit rationalen Zahlen rechnen können (inklusive Beträge, Doppelbrüche, Potenzen)
• Ausdrücke klammerfrei schreiben können (insbesondere Minuszeichen «auf Summanden in Klammer verteilen»)
• Brüche vollständig kürzen können
• Multiplikation und Addition geometrisch erklären können
• Gleichungen lösen können (von ähnlicher Schwierigkeit wie in den Aufgaben)
• rationale Zahlen der Grösse nach ordnen können
• Gaußsche Summenformel anwenden können und den Beweis wiedergeben können
• Potenzsummenformel anwenden können und den Beweis wiedergeben können

Falls jemand Strahlensätze mit dem Lernnavi üben will: Code RA8VZ (und Kopien davon: ARE5T, JA29A).

Wissen

• Verhältnis, Verhältnisgleichung
• Was eine Strahlensatzfigur ist (zwei Möglichkeiten, Zentrum zwischen Parallelen oder Ähnlichkeit)
• 1. und 2. Strahlensatz
• Umkehrung des 1. Strahlensatzes (zum Zeigen von Parallelität von Geraden)
• Anwendungen des Strahlensatzes (wie in den Aufgaben)
• Schwerpunktsatz
• innerer und äusserer $\frac pq$-Teilungspunkt einer Strecke $[XY]$
• Satz über die Winkelhalbierenden inklusive Umkehrung
• Definition des Apollonioskreises
• Satz des Apollonios
• Die Aussagen der Sätze (unabhängig von der Benennung von Seiten und Punkten) wirklich verstehen! Nicht nur Auswendiglernen.

Können

• Aufgaben zu Verhältnissen wie im entsprechenden Abschnitt im Skript lösen können.
• Geometrie-Aufgaben wie im Skript lösen können: Alle oben aufgeführten Sätze (inklusive Umkehrung, falls sie gilt) anwenden können (insbesondere Strahlensatzfiguren erkennen und darin “gleiche Verhältnisse” rasch erkennen; Apollonioskreis bei Konstruktionsaufgaben einsetzen können, ebenso Schwerpunktsatz und Winkelhalbierendensatz).
• Alle oben aufgeführten Sätze wiedergeben können.
• Beide Teilungspunkte konstruieren können.
• Apollonios-Kreis konstruieren können.
• Verhältnisgleichungen umschreiben können, z. B. aus dem Verhältnis $\frac xy$ das Verhältnis $\frac{x+y}y$ berechnen können.

Bemerkung Wissen und Können bezieht sich hier natürlich nur auf das neu erworbene Wissen und Können. Zuvor erworbenes Wissen und Können wird stets vorausgesetzt.

Wissen

• zentrische Streckung, Streckfaktor
• zentrische Streckung konstruktiv ausführen können (Konstruktion 4.5.2)
• Eigenschaften zentrischer Streckungen (Geraden auf dazu parallele Geraden, Verlängerung von Strecken um Faktor $|\lambda|$, winkeltreu, verhältnistreu, wie Kreise auf Kreise abgebildet werden (neuer Mittelpunkt? neuer Radius?), Veränderung von Flächeninhalten und Volumina)
• gewisse Problemlösestrategien:
  • Handskizzen erstellen zum Verstehen des Problems
  • dynamische Vorstellung von zentrischen Streckungen
  • “rückwärts denken”, z.B. erwünschte Lösung per Handskizze zeichnen; kann man sie (mit geeignetem Streckzentrum) zu etwas strecken, was man leichter konstruieren kann?
  • die “richtigen” Verhältnisgleichungen finden: Wenn zum Beispiel eine Gleichung mit gewissen Abständen zu zeigen ist, sollte man zuerst nach Gleichungen suchen, in denen diese Abstände vorkommen (und nicht wahllos Verhältnisgleichungen aufstellen; wenn man nicht weiter kommt, kann man dies später noch tun)
  • wenn man nicht weiterkommt, einen anderen Lösungsweg suchen
• Ähnlickeit von Figuren
• Dreiecke mit zwei/drei gleichen Winkeln sind ähnlich, was gewisse Verhältnisgleichungen zur Folge hat
• Längen/Flächen/Volumenänderungsfaktor bei ähnlichen Figuren

Können

• Aufgaben zu zentrischen Streckungen und Ähnlichkeit wie im Skript lösen können, z. B.
• die oben angegebenen Problemlösestrategien anwenden können
• geeignete zentrische Streckungen finden und konstruktiv ausführen können
• zentrische Streckungen zum Problemlösen einsetzen können, etwa Einbeschreibungs- und Kreisberühraufgaben
• Flächen- und Volumenänderungen berechnen können bei zentrischen Streckungen bzw. ähnlichen Figuren
• ähnliche Dreiecke finden (zwei gleiche Winkel!) und die richtigen Verhältnisgleichungen (rasch) aufschreiben können

Bemerkung: Wissen und Können bezieht sich hier natürlich nur auf das aktuell neu erworbene Wissen und Können. Zuvor erworbenes Wissen und Können wird stets vorausgesetzt.

Wissen

• Terme
• mathematische Notation, Computer-Notation, Baum-Notation von Termen
• Auswerten von Termen, korrektes Einsetzen von Werten oder Termen (Schutzklammern), Gleichheit von Termen/erlaubte Umformungen
• binomische Formeln samt Anwendungen
• Fakultät und deren Bedeutung
• Binomialkoeffizienten und deren Bedeutung
• Pascalsches Dreieck
• Binomischer Lehrsatz samt Anwendungen
• Inklusionen $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
• Beispiele angeben können für Zahlen, die in einer dieser vier Mengen sind, aber nicht in der davor, bzw. bei einer gegebenen Zahl angeben können, in welcher der vier Mengen sie liegt.
• Begriffe reelle Zahl, rationale bzw. irrationale Zahl
• rational = periodisch als Kommazahl
• irrational = nicht-periodisch als Kommazahl
• Umwandlung einer abbrechenden oder periodischen Kommazahl in eine rationale Zahl der Form $\frac ab$ (mit $a$ ganze Zahl und $b$ positive natürliche Zahl) und retour; zumindest bei Periodenlänge kleiner-gleich 2
• Beweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist;
• Diagonale und Seite im Quadrat sind nicht kommensurabel
• Was eine endliche Menge ist. Was eine abzählbar-unendliche Menge ist. Was eine überabzählbar-unendliche (= unendliche, aber nicht abzählbar-unendliche) Menge ist
• Welche der Mengen $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ abzählbar-unendlich sind und welche nicht. Die Beweisidee sollte grob bekannt sein (vgl. Arte-Video).

Können

• Aufgaben wie im Skript lösen können
• Umwandlung einer Kommazahl in eine rationale Zahl im Fall, dass die Kommazahl abbrechend ist oder Periodenlänge eins oder Periodenlänge 2 hat. Also z.B. $17.12\overline{37}$ als Quotient ganzer Zahlen schreiben können: abbrechend: Nenner ist Zehnerpotenz; für Periodenlänge 1 verwende $\frac 19$; für Periodenlänge 2 verwende $\frac{1}{99}$.
• Umwandlung rationaler Zahl in Kommazahl (per schriftlicher Division)
• zwischen den drei Notationen für Terme wechseln können
• Sicher mit Termen rechnen können (vgl. alle Aufgaben(typen) auf den Seiten 5 und 6 im Terme-Skript);
• Terme in Terme einsetzen können (Schutzklammern!)
• Umformungsfehler entdecken und durch Gegenbeispiele widerlegen können
• binomische Formeln sicher anwenden, in beide Richtungen
• binomischen Lehrsatz anwenden können, in beide Richtungen
• Beweis von $\sqrt{2}$ irrational wiedergeben können
• einfache Kombinatorikaufgaben lösen können: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Schüler aus 22 auszuwählen? 5 Schüler von 22 in eine Reihenfolge zu bringen?
• sollte zwar bekannt sein, wird aber nicht geprüft: Cantors Beweise für Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$ und Überabzählbarkeit (= ist nicht abzählbar-unendlich) von $\mathbb{R}$

Bemerkung: Wissen und Können bezieht sich hier natürlich nur auf das aktuell neu erworbene Wissen und Können. Zuvor erworbenes Wissen und Können wird stets vorausgesetzt.

Kurzfassung: Alle behandelten Themen in Kapitel “6 Funktionen = Abbildungen” des Skripts; Aufgaben ähnlich wie im Skript.

Hinweis: Geogebra zum Überprüfen verwenden beim Lernen.

Wissen

• Funktionsbegriff inklusive Begriffen wie Argument, (Funktions-)Wert (an einer Stelle), Definitionsmenge (oder -bereich oder Startmenge), Wertemenge (oder -bereich oder Zielmenge)
• Sprechweisen kennen, etwa “f von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$” für $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x$ wird abgebildet auf $x^2+3$ für $x \mapsto x^2+3$, $f$ von $x$ gleich $x$ Quadrat“ für $f(x)=x^2$,
• Notation von Funktionen
• Notation von Intervallen (eckige bzw. runde Klammern), abgeschlossene/offene Intervalle
• Produkt von Mengen
• Notation gewissen Zahlenmengen (etwa $\mathbb{R}^-_0$ etc.)
• Kenntnis von Begriffen wie Spiegelung (an einer Geraden bzw. an einem Punkt), Verschiebung, Rotation
• Graph einer Funktion (als Teilmenge der Zeichenebene)
• (näherungsweises) Ablesen von Funktionswerten aus dem Graphen
• Kenntnis der Graphen wichtiger Funktionen (Aufgabe A9 bzw. Merke 6.6.5)
• Transformation von Funktionsgraphen (A14, A15, A16, A17, A18)

Können

• Intervalle auf der Zahlengerade markieren können (mit Markierung, ob Randpunkte dazugehören oder nicht)
• Mengen, die per Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt, Differenz, Komplement) aus Intervallen oder ähnlichen Mengen (etwa $\mathbb{R}^*$) entstehen, verstehen (etwa auf der Zahlengeraden markieren können oder entscheiden können, ob zwei so entstandene Mengen gleich sind).
• Produkte von Mengen angeben können bzw. in der Zeichenebene einzeichnen können (Rand markieren (durchgezogen oder gestrichelt) je nachdem, ob die entsprechenden Punkte dazugehören oder nicht).
• Funktionswerte von Funktionen ausrechnen können
• Zwischen verbaler Beschreibung (= Beschreibung durch Worte) und mathematischer Notation von Funktionen (Merke 6.5.1) übersetzen können (Aufgabe A6).
• Geometrische Abbildungen der Zeichenebene in sich selbst in mathematsischer Notation angeben können (Aufgabe A7).
• Graphen von Funktionen (näherungsweise) zeichnen können
• Funktionswerte näherungsweise aus Graphen ablesen können
• Graphen von Standardfunktionen “auswendig” wiedergeben können (Aufgabe A9, Merke 6.6.5, beachte etwa horizontale Tangengen bei $x^2$ und $x^3$)
• Entscheiden können, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, und ähnliche Fragestellungen beantworten können (wie in Aufgabe A10).
• Nullstellen näherungsweise aus Graphen ablesen können.
• Entscheiden können, ob eine Teilmenge der Ebene ein Graph ist oder nicht.
• Graphen von Funktionen wie $f(x)=g(x)+2$, $f(x)=-2g(x)$, $f(x)=g(2x)$, $f(x)=g(x+2)$ zeichnen können, wenn der Graph von $f$ bekannt ist.
• Solche Transformationen in Worten beschreiben können (etwa: Streckung in $x$-Richtung mit Faktor …, Spiegelung an $y$-Achse)
• Solche Transformationen verwenden können, um gegeben Funktionsgraphen geeignet zu verschieben (Aufgabe A18).
• Graphen von Summen, Produkten und Kompositionen von Funktionen (näherungsweise) zeichnen können, wenn die Graphen der beteiligten Funktionen gegeben sind.

In der Prüfung ist die Benutzung eines Taschenrechners nicht erlaubt.

Kurzfassung: Skript Kapitel 7; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Einige Tafelerklärungen sind am Ende des online verfügbaren Skripts im Kapitel “8 Nachträge” dokumentiert. Für Interessierte: Im Anhang “A Einige Beweise” des Skripts werden die Sätze 7.6.3 und 7.6.4 bewiesen.

Wissen: Definition von Potenzen mit negativen Exponenten, Potenzgesetze, naturwissenschaftliche Schreibweise und Präfixschreibweise (die Bedeutung der Präfixe von “Pico” bis “Tera” ist zu lernen/kennen), Begriff “gültige Ziffern/Stellen” kennen, Umrechnungen, (Präfixe in der Informatik werden nicht geprüft), Polynome in einer Variablen inklusive zugehöriger Begriffe (Monom, Wert, Auswertung an einer Stelle, Standardform (=Normalform), Grad, Koeffizienten bei Monomen, Leitkoeffizient, normiertes Polynom, konstanter Koeffizient oder besser konstanter Term), Verhalten von Grad/Leitkoeffizient/konstantem Term beim Multiplizieren von Polynomen, diverse Techniken zur Faktorzerlegung (= zum Faktorisieren) von Termen (erklärt/geübt in den Aufgaben A21 bis A24 und A27) (Nullstellen abspalten, natürliche Kandidaten für Nullstellen kennen (bei normierten Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten)), Polynomdivision, Begriff der Nullstelle (eines Polynoms oder einer Funktion).

Können: Potenzen (mit negativen Exponenten) berechnen können, Potenzgesetze anwenden können, Primfaktorzerlegung für rationale Zahlen ($\not=0$) (A2-A5), einfache Exponentialgleichungen lösen können (A6), Werte in naturwissenschaftlicher bzw. Präfixschreibweise angeben können (bei angegebener Anzahl gültiger Ziffern), Umrechnungen durchführen können, “physikalische” Textaufgaben wie A10-A16 lösen können, Polynome auswerten können, Polynome addieren und multiplizieren können (zur Fehlervermeidung: untereinander schreiben bzw. per Tabelle), Polynome auf Standardform bringen können, Grad, Leitkoeffizient, konstanten Term, Koeffizienten eines Polynoms bestimmen können, entscheiden können, ob ein Polynom normiert ist, alle kennengelernten Faktorisierungstechniken anwenden können (man sollte auch ein gewisses Gefühl haben, welche Technik wann angemessen ist; sonst muss man eben eventuell mehrere Versuche unternehmen), Polynomdivisionen durchführen können, natürliche Kandidaten für Nullstellen kennen (bei normierten Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten), Nullstellen abspalten können (d.h. Polynomdivision durch $(x-a)$, falls $a$ eine Nullstelle ist).

In der Prüfung ist die Benutzung eines Taschenrechners voraussichtlich erlaubt.

Kurzfassung: Skript Kapitel 9, Aufgaben bis Aufgabe A24 einschliesslich; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Bitte damit rechnen, dass am Anfang der Prüfung einige kurze Verständnisfragen vorkommen (z. B. entscheiden, ob eine Aussage richtig oder falsch ist).

Wissen:

• Satz des Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz inklusive der darin vorkommenden Begriffe (Hypotenuse, Kathete, Höhe, Hypotenusenabschnitte)
  • so trivial es klingt: Die Voraussetzungen dieser Sätze kennen: rechtwinkliges Dreieck
• geometrische Bedeutung dieser Sätze
• Umkehrung des Satzes von Pythagoras (Kriterium für einen rechten Winkel)
• mindestens ein Beweis des Satzes von Pythagoras
• Kenntnis der Wurzelgesetze; wie man Wurzeln aus Nennern von Brüchen beseitigt
• Konstruktion von Wurzeln natürlicher Zahlen (Wurzelschnecke)
• Abstand zweier Punkte in der Zeichenebene
• Abstand zweier Punkte im 3-dimensionalen Raum
• drei Mittelwerte kennen (arithmetisches, geometrisches, harmonisches)

Können:

• die drei Sätze aus der Satzfamilie des Pythagoras flexibel anwenden können, um Aufgaben wie im Skript zu lösen
  • d.h. zum Beispiel in Aufgaben schnell erkennen, welcher Satz (Pythagoras, Höhen-, Kathetensatz; Flächenberechnung) zielführend eingesetzt werden kann
  • diese Sätze auch rasch anwenden können, wenn die Seiten nicht mit den Standardnamen bezeichnet sind
  • auch “dreidimensionale Probleme” können in der Prüfung vorkommen
• in “gewissen Dreiecken” (gleichseitig gleichschenklig; $90^\circ$-$60^\circ$-$30^\circ$-Dreiecken; gleichseitigen Dreiecken) fehlende Grössen rasch berechnen können
• rechnerisch entscheiden können, ob ein Dreieck rechtwinklig ist
• den Abstand zweier durch ihre Koordinaten gegebenen Punkte in der Zeichenebene berechnen können
• den Abstand zweier durch ihre Koordinaten gegebenen Punkte im Raum berechnen können
• aus zweien der Grössen eines rechtwinkligen Dreiecks (Katheten, Hypotenuse, Hypotenusenabschnitte, Höhe, Fläche) die anderen berechnen können (in nicht zu schwierigen Settings, vgl. Aufgabe A19, A20)
• Wurzeln konstruieren können
• per Konstruktion mit Zirkel und Lineal: Rechteck in flächengleiches Quadrat verwandeln (mit Höhen- oder Kathetensatz) oder umgekehrt (Quadrat und eine Rechtecksseite gegeben)
• mindestens einen Beweis des Satzes von Pythagoras schriftlich erklären können

In der Prüfung ist die Benutzung eines Taschenrechners voraussichtlich nicht erlaubt.

Kurzfassung: Skript Kapitel 8 (bis zum Ende); dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Bitte damit rechnen, dass am Anfang der Prüfung einige kurze Verständnisfragen vorkommen (z. B. entscheiden, ob eine Aussage richtig oder falsch ist).

Wissen:

• Kenntnis der folgenden Begriffe: Gleichung, Lösung einer Gleichung, Lösungsmenge, Grundmenge=Definitionsmenge einer Gleichung, Umformung einer Gleichung, Äquivalenzumformung, lineare Gleichung, Parameter
• Strategien zum Lösen von Gleichungen (bei linearen Gleichungen, linearen Gleichungen mit Parametern, Wurzelgleichungen, Bruchgleichungen; Wurzelziehen, Produkt-gleich-Null, Ausklammern; teilweise muss man dazu Terme faktorisieren)
• Dass man eine Probe durchführen muss, sobald man eine Umformung verwendet hat, die eventuell keine Äquivalenzumformung ist.
• Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung

Können:

• Gleichungen der oben angegebenen Arten lösen können (Schwierigkeit wie im Skript).
  • selbst erkennen, welche Lösungsstrategie am erfolgversprechendsten ist;
  • erkennen, wann eine Probe durchgeführt werden muss;
  • eventuell eine Probe durchführen bzw. testen, ob alle Lösungen in der Grundmenge sind (was meist bedeutet: Sie dürfen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden, ohne dass durch Null geteilt wird oder die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird).
• lineare Gleichungen mit Parametern lösen können (Fallunterscheidung); es muss klar sein, welches die Bedingungen in den einzelnen Fällen sind.
• Textaufgaben; von der Information im Text ausgehend eine Gleichung aufstellen; angeben, wofür welche Variable steht.
• Grundmenge=Definitionsmenge einer Gleichung bestimmen können.

Kurzfassung: Skript Kapitel 10; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Seite 9 im Skript (online verfügbar) enthält weitere Aufgaben zum Üben.

Bitte damit rechnen, dass einige kurze Verständnisfragen vorkommen (vgl. Aufgaben A13 bis A14; z. B. entscheiden, ob eine Aussage richtig oder falsch ist).

Wissen:

• Kenntnis/Definition der folgenden Begriffe: Steigung und $y$-Achsenabschnitt einer Geraden, Steigungswinkel einer Geraden
• Lineare Funktionen sind “dasselbe” wie (nicht-vertikale) Geraden im Koordinatensystem: Ist $f(x)=mx+q$ eine lineare Funktion, so ist ihr Graph die Gerade mit Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $q$.
• Was die Bedingung dafür ist, dass ein (durch seine Koordinaten gegebener) Punkt auf einer Geraden $l(x)=mx+q$ liegt.
• Wie man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen kann, wenn diese durch lineare Gleichungen gegeben sind.
• Welche Steigung eine jede Gerade hat, die senkrecht auf einer Geraden mit Steigung $m$ steht.
• Fast identisch zum vorherigen Punkt: Wie man testen kann, ob zwei Geraden (mit bekannten Steigungen) aufeinander senkrecht stehen.

Können:

• Standardaufgaben lösen können:
  • Die Gleichung einer Geraden berechnen können, falls
    • zwei Punkte auf der Geraden gegeben sind; oder falls
    • ein Punkt auf der Geraden und die Steigung der Geraden gegeben ist.
  • Die Gleichung einer Geraden berechnen können, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden $l(x)=mx+q$ ist und durch einen gegebenen Punkt im Koordinatensystem geht.
  • Den Schnittpunkt zweier Geraden, die durch lineare Funktionen gegeben sind, ausrechnen können.
• Testen können, ob ein Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt.
• Die obigen Standardaufgaben in “interessanten” Anwendungen anwenden können (vgl. Aufgaben A9 bis A12).
• Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem angeben können (so exakt wie möglich).
• Den $y$-Achsenabschnitt einer Geraden im Koordinatensystem angeben können (so exakt wie möglich).
• Den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem einzeichnen können.
• Aus gewissen Steigungswinkeln die Steigung einer Geraden berechnen können (Winkel wie in Aufgabe A2).
• Geometrische Sachverhalte rechnerisch prüfen können (wie z.B. in Aufgabe 12).

Wissen und Können aus zuvor behandelten Themen wird stets vorausgesetzt. Zum Beispiel sollte bekannt sein, wie man den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem (mit Pythagoras) berechnet.

In der Prüfung ist die Benutzung eines Taschenrechners voraussichtlich nicht erlaubt.

Kurzfassung: Skript Kapitel 11 und 12; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Bitte damit rechnen, dass am Anfang der Prüfung einige kurze Verständnisfragen vorkommen (z. B. entscheiden, ob eine Aussage richtig oder falsch ist).

Wissen:

• Kenntnis der folgenden Begriffe: Ungleichung, Lösung einer Ungleichung, Lösungsmenge, Grundmenge=Definitionsmenge=Definitionsbereich eines Terms.
• Das Vergleichszeichen (bei einer Ungleichung) muss beim Multiplizieren/Dividieren mit einer NEGATIVEN Zahl umgedreht werden.
• Strategien zum Lösen von Ungleichungen, insbesondere Fallunterscheidung und Vorgehen bei Ungleichungen des Type “Produkt $>$ Null” (oder anderes Vergleichszeichen)
• Notation von Intervallen und Menge (etwa zum Aufschreiben von Lösungs- oder Definitionsmengen)
• Was das Kürzen eines Bruchs/Bruchterms ist.
• Wie man Brüche/Bruchterme addiert und subtrahiert (gleichnamig machen, möglichst “kleinen” Hauptnenner finden, dazu ist es oft sinnvoll, die Nenner zu faktorisieren)
• Wie man Brüche/Bruchterme multiplizert und dividiert (bitte daran denken, dass man manchmal vor dem eventuellen Ausmultiplizieren kürzen kann)

Können:

• Ungleichungen lösen können (Schwierigkeit wie im Skript).
  • selbst erkennen, welche Lösungsstrategie am erfolgversprechendsten ist;
  • aufpassen beim Multiplizieren mit Termen, die positive oder negativ (oder Null) sein können (eventuell Vergleichszeichen umdrehen);
  • oft kann man durch das Einsetzen einiger Werte zumindest erkennen, ob das Ergebnis plausibel ist.
• Bruchterme kürzen können (schliesst Faktorisieren und Strategien zum Faktorisieren mit ein).
• Bruchterme addieren und subtrahieren können.
• Bruchterme multiplizeren und dividieren können.
• Fehler beim Bruchrechnen erkennen und korrigieren können.
• Grundmenge=Definitionsmenge=Definitionsbereich eines Terms (oder einer Gleichung) bestimmen können. (Mit der Definitionsmenge einer Gleichung ist der Schnitt der Definitionsmengen aller darin vorkommenden Terme gemeint)

Kurzfassung: Skript Kapitel 12 (soweit behandelt); dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Bitte damit rechnen, dass einige kurze Verständnisfragen vorkommen.

Wissen:

• Kenntnis der folgenden Begriffe (alles auf die Zeichenebene bezogen): Vektor (als Verschiebung oder als Familie von Pfeilen (alle gleich lang, gleiche Richtung)); Komponenten eines Vektors; Länge eines Vektors; Einheitsvektoren = normierter Vektor (= Vektor der Länge 1); Ortsvektor; Verbindungsvektor; Nullvektor; Massenmittelpunkt = Schwerpunkt von Punkten; Orthogonalität (= Aufeinander-Senkrecht-Stehen) von Vektoren, d. h. wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander; wann Vektoren parallel sind; Skalarprodukt; Parameterdarstellung (= Parameterform = Parametrisierung) einer Geraden inklusive der Begriffe Aufpunkt = Stützpunkt (und Stützvektor) und Richtungsvektor.
• Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation = Zahl-Vektor-Multiplikation) inklusive geometrische Anschauung dazu (Aneinanderhängen von Vektoren; Verbindungsvektor zwischen Pfeilspitzen (wenn die beiden Pfeile denselben Anfangspunkt haben), Skalieren/Strecken von Vektoren);
• Wie sich die Länge eines Vektors beim Skalieren ändert;
• Was das Skalarprodukt mit Orthogonalität zu tun hat;
• Drehen von Vektoren in der Ebene um $\pm 90^\circ$.
• Geometrische Anschauung zu Geraden in Parameterform besitzen (Partikel, das sich mit konstantem Geschwindigkeitsvektor bewegt).

Können:

• Vektoren im Koordinatensystem einzeichnen können (als Pfeil mit entweder beliebigem oder vorgegebenem Anfangspunkt);
• Länge von Vektoren ausrechnen können;
• Vektoren auf gewünschte Längen skalieren können (etwa Vektoren normieren, d. h. auf Länge 1 bringen, d. h. zum Einheitsvektor machen);
• mit Vektoren rechnen können (Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation);
• Ortsvektoren und Verbindungsvektoren ausrechnen können;
• mit abstrakt gegebenen Ort- und Verbindungsvektoren rechnen können;
• Massenmittelpunkte ausrechnen können oder andere Teilungspunkte (Punkte, die eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilen);
• Skalarprodukt zweier Vektoren ausrechnen können;
• überprüfen können, ob Vektoren aufeinander senkrecht stehen (per Skalarprodukt);
• Vektoren um $\pm 90^\circ$ drehen können;
• “Winkelhalbierende” von Vektoren bestimmen können;
• vorgegebene Punkte zu (einfachen) geometrischen Figuren ergänzen können (gleichseitiges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, Quadrat, Rechteck, … (wie in den Aufgaben geübt));
• Aufgaben wie im Skript zu Geraden lösen können, die in Parameterform gegeben sind (bisher nur Aufgabe A19).