Fragen und Antworten zur Prüfung Mengenlehre vom 3. September 2025

Die Intention der Aufgabe war, Eigenschaften zu beschreiben, mit der Primzahlen definiert werden können, wie z.B.

$\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ hat genau zwei Teiler}\}$ oder $\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ist nur durch 1 und sich selbst teilbar und } x>1\}$

Mathematisch sind obigen Lösungen korrekt, aber da könnte man auch gleich einfach nur $\mathbb{P}$ schreiben.

Die erste Zeile ist korrekt: «Alle Elemente, die wie $37x$ aussehen, wobei $x$ eine natürliche Zahl sein muss».

Die zweite Zeile ist schon formal falsch: «Alle natürlichen Zahlen $x$, für die gilt $37x$». Gehört jetzt 2 dazu? Die Frage ist: gilt 74? Das ist weder wahr noch falsch, weil es keine Aussage ist. Man könnte die Sache so retten:

$\{x \in \mathbb{N} \mid \frac{x}{37} \in \mathbb{N}\}$. Jetzt ist der zweite Teil eine Aussage, die, je nachdem, was man für $x$ einsetzt, eindeutig als wahr oder falsch entschieden werden kann.

Nein, ist falsch. Formal zwar sinnvoll, aber die Menge, die herauskommt ist aber «Alle natürlichen Zahlen $x$, für die gilt: $x^3<1111$». Das ist das Gleiche $x<11$. Man beschreibt also die Menge mit den natürlichen Zahlen von 0 bis und mit 10.

Das macht keinen Sinn: «Alle natürlichen Zahlen $x$, für die gilt $x^2$». Der zweite Teil nach dem vertikalen Strich (=«für die gilt») muss eine Aussage sein, die wahr oder falsch ist. $x^2$ ist keine Aussage sondern in diesem Fall eine Quadratzahl. Z.B. ist 9 keine Aussage, also weder wahr noch falsch. Ein Möglichkeit, die Sache zu retten wäre

$\{x \in \mathbb{N} \mid \sqrt{x} \in \mathbb{N}\}$: Also «Alle natürlichen Zahlen $x$, für die gilt: Die Wurzel aus $x$ ist ebenfalls natürlich.»