Polynom-Division

Erinnerung an schriftliche Division (mit Rest) $\qquad$ (gebildete Bezeichnung: ganzzahlige Division)

Lehrervortrag, Tafel oder eTafel

Wir berechnen mit schriftlicher Division:

  • $864192 : 7$
  • $7538 : 13$

“Dasselbe” Verfahren funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst!

Warum ist das nützlich?

  • Faktorisierung (= Faktorzerlegung) von Polynomen und
  • Vereinfachen von Polynombrüchen (= Brüchen mit Polynomen in Zähler und Nenner)

Das lernen wir in der nächsten Lektion.

Lernziel heute ist, das Verfahren zu erlernen.

Aufgabe 1: Lernen am Beispiel: Schriftliche Division von Polynomen

Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden

Versteht gemeinsam das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” mit Hilfe des hier verlinkten Beispiels.

Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen.

Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast

Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 20 Minuten; bei Fragen bitte melden

  • (a) Öffne in einem neuen Tab (neue Registerkarte) die Web-Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm (vermutlich geht das automatisch, sonst mouse right-click oder Ctrl+mouse left-click).
  • (b) Vergössere das Fenster links oben etwas (oder scrolle dort nach unten) und setze den Haken bei “Keine Aufgaben mit Rest”:
  • (c) Klicke dann auf den Button “Neue Aufgabe”.
  • (d) Löse solange Aufgaben auf Level 1, bis du 3 Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.

Hinweise:

  • Zur Eingabe von Potenzen am Computer: Schreibe 4x^3 oder 4*x^3 für $4x^3$.
  • Wie auf der letzten Seite der pdf-Datei oben geschrieben: Bei den Subtraktionen sind alle Terme von oben abzuschreiben, also in etwa so:
  • Wer Hilfe benötigt: Nutze die Hinweise im Fenster rechts oben oder frag mich.
  • (e) Stelle den Level mindestens auf 3 und löse solange Aufgaben, bis du drei Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.

Bemerkung: Ab diesem Level wird manchmal auch durch Polynome vom Grad 2 wie $2x^2-2x-1$ dividiert.

Achtung: Wenn du zu oft auf “Neue Aufgabe” drückst ohne Lösungen einzugeben, sinkt der Level.

  • (f) Entferne dann den Haken bei “Keine Aufgaben mit Rest” und löse einige Aufgaben (mindestens auf Level 3), bei denen eventuell ein (von Null verschiedener) Rest verbleibt. Lerne dabei, wie man die Lösung angibt.

Challenge / Bonusaufgabe für die Schnellen: (Ausklappen durch Anklicken)

Challenge / Bonusaufgabe für die Schnellen: (Ausklappen durch Anklicken)

Auf welchem möglichst hohen Level schaffst du eine Aufgabe fehlerfrei? Ich schreibe gerne eine Bestenliste an die Tafel! (Ich habe gerade Level 9 getestet - dir Aufgabe war relativ einfach.)

  • Gibt es Fehler, aus denen ihr besonders viel gelernt habt?
  • Sind Probleme aufgetaucht, die wir gemeinsam besprechen sollten?

Aufgabe 3: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung

Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden

  • (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:

$$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$

  • (b) Mache die Probe: Multipliziere dein Ergebnis mit $x-2$. (Alternative: Checke deine Lösung wie in (d).)
  • (c) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:

$$(x^5+2x^4+4x^3+3x^2+9x+8):(x^2+2x+3)$$

  • (d) Überprüfe dein Ergebnis per http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm: Trage (Dividend (= das zu Teilende) und Divisor (= der Teilende) ein und klicke auf den Button “Gleichheitszeichen”. Wenn dir das Ergebnis bei “Quotient” nicht klar ist, schau dir die schriftliche Division zwei “Felder” tiefer an.

Hinweise zur Prüfungsvorbereitung:

Aufgabe 4 (falls die Zeit reicht): Achtung bei "fehlenden Termen"

Vermutlich Demonstration der ersten Teilaufgabe an der Tafel, danach Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden

Berechne

  • (a) $\qquad(x^4-1) : (x-1)$
  • (b) $\qquad(x^5+1) : (x+1)$
  • (c) $\qquad(x^5+4x^3+x^2+3x+3):(x^2+3)$

Prüfe deine Ergebnisse durch eine Probe oder online.

Hinweis: (bitte ausklappen durch Anklicken)

Hinweis: (bitte ausklappen durch Anklicken)

Wenn du naiv schriflicht losdividierts, bekommst du Platzprobleme.

Damit du “genug Platz hast”: Schreibe in der ersten Teilaufgabe den Dividenden $x^4-1$ als $$\boxed{x^4+0x^3+0x^2+0x-1} \qquad\text{ oder mit Abständen (für die fehlenden Terme) als }\qquad \boxed{x^4\phantom{+0x^3+0x^2+0x}-1}$$

Analog in der zweiten Teilaufgabe.

In der letzten Teilaufgabe darfst du neben dem Dividenden auch den Divisor $x^2+3$ entsprechend expandieren. Zwingend notwendig ist das nicht, aber vielleicht hilft es.