Der Gewinn berechnet sich aus den Einnahmen $n(p)\cdot p$ minus den Ausgaben $n(p)\cdot b + a$.

Gewinn: $g(p)=n(p)\cdot p-n(p)\cdot b - a$. Davon suchen wir das Maximum.

Sei $A$ die konstante Fläche der Rechtecke und $x$ die Seitenlänge eines dieser Rechtecke. Also ist $y=\frac{A}{x}$ die andere Seitenlänge. Damit ist der Umfang $U(x)=2(x+y) = 2\left(x+\frac{A}{x}\right)$. Wir suchen $x$ so, dass $U(x)$ minimal ist. Dazu bestimmen wir die Extremalstellen durch Nullsetzen der Ableitung $U'(x)=0$:

$$\begin{align*} U'(x) = 2\left(1-\frac{A}{x^2}\right) & = 0 \\ 1 & = \frac{A}{x^2} && x \neq 0 \\ x^2 & = A && x>0 \\ x & = \sqrt{A} \end{align*}$$ Für $x$ nahe bei Null, sowie für grosse $x$ wird der Umfang beliebig gross. Es muss sich also um das globale Minimum handeln.

Alternativ könnte man dafür die zweite Ableitung $U''(x) = 2\frac{A}{x^3}$ betrachten, die immer positiv ist (für positive $x$). Damit «macht der Graph immer eine Linkskurve» und wir haben ein echtes Minimum gefunden (und keinen Sattelpunkt).

Wenn $x=\sqrt{A}$ ist natürlich auch $y=\sqrt{A}$. So das Rechteck mit minimalen Umfang bei gegebener Fläche ein Quadrat.