Einleitende Theorie

Wir werden im folgenden Punkte im Raum mit deren Ortsvektoren gleichsetzen und als mathematische Objekte nicht mehr unterscheiden, sondern einfach als Elemente von $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$, die Menge aller geordneten Tupel bzw. Tripel von reellen Zahlen betrachten.

Kurz: Wir werden nur noch mit Vektoren Rechnen und die wenn nötig als Ortsvektoren von Punkten auffassen. Punkte werden immer als Ortsvektoren aufgefasst.

Gegeben ist eine Menge $V$ von (abstrakten) «Vektoren», d.h. Dinge, die man addieren und skalieren (mit einer reellen Zahl multiplizieren) kann. Typische Beispiele:

• Vektoren (aus der Vektorgeometrie)
• Funktionen (z.B. Polynome oder Sinus- und Cosinusfunktionen)

Eine (reelle) Linearkombination von «Vektoren» ist eine Summe von reellen Vielfachen dieser “Vektoren”: $$ r_1 v_1 + r_2 v_2 + \ldots r_n v_n \qquad \qquad \text{mit } r_i \in \mathbb{R} \text{ und } v_i \in V $$

Ein Vektor $v$ ist linear abhängig von einer Menge von Vektoren $v_1, v_2, \ldots, v_n$, wenn $v$ als Linearkombination von $v_1, v_2, \ldots, v_n$ geschrieben werden kann. Sonst ist $v$ linear unabhängig von $v_1, v_2, \ldots, v_n$.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Nullvektor immer linear abhängig ist.

Eine Menge von Vektoren $v_1, v_2, \ldots, v_n$ ist linear unabhängig (in sich selbst), wenn jeder Vektor $v_i$ linear unabhängig von der Menge der restlichen Vektoren ist. Sonst sind $v_1, v_2, \ldots, v_n$ ist linear abhängig.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass wenn der Nullvektor eine Linearkombination von $v_1, v_2, \ldots, v_n$ mit von Null verschiedenen Koeffizienten ist, dann sind $v_1, v_2, \ldots, v_n$ linear abhängig.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass $v_1, v_2, \ldots, v_n$ genau dann linear unabhängig sind, wenn die einzige Lösung der Gleichung $\sum_i r_i v_i = \vec 0$ die Lösung $r_i=0$ für alle $i$ ist.

Eine Basis eines Vektorraums (Menge aller möglichen Vektoren) ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren $v_1, v_2, \ldots, v_n$, so dass jeder mögliche Vektor $v$ als Linearkombination dieser Vektoren geschrieben werden kann.

Beispiele:

• Die Menge aller Linearkombinationen der Einheitsvektoren ergibt alle möglichen Vektoren. Die Einheitsvektoren bilden eine Basis.
• Die Menge aller Linearkombinationen der Polynome $1,\, x,\, x^2$ ergibt die Menge aller möglichen Polynome bis und mit 2. Grades.
• Die Menge $\{\sin(nx)\mid n\in\mathbb{N}\} \cup \{\cos(nx)\mid n\in\mathbb{N}\}$ bildet eine (unendliche) Basis für $2\pi$-periodische Funktionen.

Ein konvexe Kombination ist eine Linearkombination mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Koeffizienten $r_i$ die Bedingungen $\sum_i r_i =1$ und $r_i \in [0,1]$ erfüllen.

Seien $\vec u$ und $\vec v$ Ortsvektoren in der Ebene. Welchen Punktemengen entspricht

a) die Menge aller Linearkombinationen von $\vec u$ und $\vec v$?

b) die Menge aller konvexen Kombinationen von $\vec u$ und $\vec v$?

c) die Menge aller Linearkombinationen von $\vec v$?

d) die Menge aller konvexen Kombination von $\vec v$?

e) die Menge aller konvexen Kombinationen von 3 Vektoren in der Ebene?

Beweisen Sie dass

• eine Linearkombination von Linearkombinationen eine einfache Linearkombination ist.
• die konvexe Kombination von konvexen Kombinationen eine einfache konvexe Kombination ist.

Gegeben ist ein Ortsvektor $\vec p$ und eine Menge von $n$ Vektoren $\vec v_i$. Angenommen $\vec p$ ist als Kombination (linear oder konvex) der Vektoren $\vec v_i$ darzustellen, dann

• ist die Linearkombination eindeutig, wenn die Vektoren linear unabhängig sind und damit einen $n$-dimensionalen Unterraum aufspannen.
• ist die konvexe Kombination eindeutig, wenn die Dimension der konvexen Hülle $n-1$ ist.

Surafel hat einen sehr eleganten Beweis geliefert. Die Idee ist, dass man die verschobenen Vektoren $\vec u_i=\vec v_i - \vec v_1$ betrachtet.

Sei $\vec p = \sum r_i \vec v_i$, mit $\sum r_i = 1$, $r_i \in [0,1]$.

Die entsprechende konvexe Kombination der Vektoren $\vec u_i$ liefert $\sum r_i(\vec v_i - \vec v_1) = \sum r_i\vec v_i - \sum r_i \vec v_1 = \vec p-\vec v_1$. Die Vektoren $\vec u_i$ für $i \geq 2$ spannen einen $n-1$-dimensionalen Unterraum auf, womit die Linearkombination $\sum_{i=2}^n r_i \vec u_i = \vec p - \vec v_1$ eindeutig ist. Damit ist der Koeffizient für $r_1$ (über die Bedingung $\sum r_i =1$) ebenfalls eindeutig.