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====== Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist ======

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Meist ist es sehr nützlich, wenn man ein Polynom als Produkt von zwei anderen Polynomen schreiben kann. 
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**Beispiel**

Faktorzerlegung/Faktorisierung eines Polynoms:
$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$

Warum ist dies nützlich?
  * **Lösen von Gleichungen:** Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will((Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.)), so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen.
  * **Kürzen von Brüchen:** Es gilt

$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$
((was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann)) oder etwas komplizierter
$$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$
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Wie findet man eine Faktorzerlegung eines Polynoms?
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Die folgenden beiden Beobachtungen sind oft (und insbesondere bei Mathe-Aufgaben in der Schule) sehr nützlich:
  - Hat ein Polynom nur ganzzahlige Koeffizienten (und am besten zusätzlich Leitkoeffizient 1), so sind die ganzzahligen Teiler des konstanten Koeffizienten oft Nullstellen des Polynoms.
  - Hat man eine Nullstelle eines Polynoms gefunden, so ist das Polynom **ohne Rest** teilbar durch 
$$x-\text{(diese Nullstelle)}.$$
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**Beispiel**

Das Polynom
$$x^2-5x+6$$
hat nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1). Wir erklären nun, wie man auf die oben bereits angegebene Faktorzerlegung kommt.

Sein konstanter Koeffizient ist 6. Die ganzzahligen Teiler von 6 sind 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -6. (Beachte, dass wir hier positive und negative Teiler betrachten!)

Nach der ersten Beobachtung in der Info-Box probieren wir aus, ob darunter eine Nullstelle unseres Polynoms ist ("systematisches Raten einer Nullstelle"):
  * Wegen $6^2-5 \cdot 6 + 6 = 36 - 30 + 6 = 12$ ist 6 keine Nullstelle.
  * Wegen $3^2-5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 =0$ ist 3 eine Nullstelle (und wir können die weitere Suche abbrechen).

Nach der zweiten Beobachtung ist unser Polynom **ohne Rest** durch $x-3$ teilbar! 

In der Tat liefert Polynomdivision
$$(x^2-5x+6):(x-3) = x-2$$
oder umgeschrieben die hoffentlich nützliche Faktorisierung
$$x^2-5x+6 = (x-3) \cdot (x-2)$$
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===== Aufgabe 5, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei) =====

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Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:
  - $x^2 -3x +2$
  - $x^2 -7x +10$
  - $x^2 + 3x + 2$

Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von
  - $x^2+3x$
  - $x^2-6x+9$
  - $x^2 - 4$
  - $x^2 - 2$ 

<hidden Experten-Bemerkung:> 
Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$.

Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen. 

Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort "oft".


Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet:
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**Satz (kein Schulstoff)**

Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.
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<hidden Lösungen:>
  - $(x-1)(x-2)$
  - $(x-2)(x-5)$
  - $(x+1)(x+2)$

  - Ausklammern: $x(x+3)$
  - binomische Formel: $(x-3)^2$
  - binomische Formel: $(x-2)(x+2)$
  - binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$
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===== Aufgabe 6, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 =====

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Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades!
$$x^3-6x^2+11x-6$$

<hidden Hinweis: (bitte ausklappen)>
Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an.
</hidden>


<hidden Lösung:>
$(x-1)(x-2)(x-3)$
</hidden>
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===== Aufgabe 7, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 =====

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Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades!
$$x^3+6x^2-x-30$$
<hidden Lösung:>
$(x-2)(x+3)(x+5)$
</hidden>

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