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  miniaufgabe.js
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==== 16. Dezember 2024 bis 20. Dezember 2024 ====
=== Dienstag 17. Dezember 2024 ===
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $C$ von der Geraden $g$. Lösungsweg mit Formeln nachvollziehbar aufschreiben, sonst TR «Volleinsatz».<JS>miniAufgabe("#exoabstandpunktgerade","#solabstandpunktgerade",
[["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 15 \\\\ 6 \\\\ -12\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -5 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\quad C=(-3,-7,9)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=4$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(4) = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -14 \\\\ 0\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 7 \\\\ 9\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{134}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -8 \\\\ 13\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 1 \\\\ -6\\end{pmatrix}  \\quad C=(-1,-19,-7)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=2$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(2) = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -6 \\\\ 1\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -13 \\\\ -8\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{258}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 3 \\\\ 2\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -4 \\\\ -4\\end{pmatrix}  \\quad C=(-13,-3,4)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=2$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(2) = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -5 \\\\ -6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ 2 \\\\ 10\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{168}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 1 \\\\ 15\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 2 \\\\ -5\\end{pmatrix}  \\quad C=(-1,3,6)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=2$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(2) = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ 5\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -2 \\\\ 1\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{14}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -9 \\\\ -2 \\\\ 2\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ -2\\end{pmatrix}  \\quad C=(1,0,-10)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=2$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(2) = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 6 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -6 \\\\ -8\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{104}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 11 \\\\ 4 \\\\ -16\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -4 \\\\ 5\\end{pmatrix}  \\quad C=(2,6,3)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=2$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(2) = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -4 \\\\ -6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 10 \\\\ 9\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{182}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ 12\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -3 \\\\ -5\\end{pmatrix}  \\quad C=(0,-17,-3)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=3$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(3) = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ -9 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ -8 \\\\ 0\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{128}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 11 \\\\ 7 \\\\ 9\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -6 \\\\ -1\\end{pmatrix}  \\quad C=(-4,-16,13)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=4$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(4) = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -17 \\\\ 5\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 1 \\\\ 8\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{114}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 10 \\\\ -14\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -3 \\\\ 6\\end{pmatrix}  \\quad C=(-6,9,9)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=3$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(3) = \\begin{pmatrix} -9 \\\\ 1 \\\\ 4\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 8 \\\\ 5\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{98}$."], ["$\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 13 \\\\ 0 \\\\ 11\\end{pmatrix}  + t \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 3 \\\\ -7\\end{pmatrix}  \\quad C=(-11,10,-15)$", "Wir suchen jenen Punkt $P$ auf $g$, der möglichst nahe an $C$ liegt. Dies ist der Fall, wenn $\\vec{PC}$ rechtwinklig zum Richtungsvektor der Geraden ist.Wir suchen also den Parameter $t$ so, dass $\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = 0$. Mit $\\vec{OP} = \\vec{g}(t)$ und $\\vec{PC} = \\vec{OC}-\\vec{OP}$ erhält man:$$\\vec{PC} \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{OP}) \\cdot \\vec{v_g} = (\\vec{OC}-\\vec{g}(t)) \\cdot \\vec{v_g} = 0.$$\nDie Lösung obiger Gleichung ist $t=4$, womit $\\vec{OP}=\\vec{g}(4) = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 12 \\\\ -17\\end{pmatrix} $ und $\\vec{PC} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -2 \\\\ 2\\end{pmatrix} $.<br>\nDer gesuchte Abstand ist $|\\vec{PC}| = \\sqrt{24}$."]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exoabstandpunktgerade"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solabstandpunktgerade"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby abstand-punkt-gerade.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Donnerstag 19. Dezember 2024 ===
Berechnen Sie von Hand:<JS>miniAufgabe("#exocrossproductbyhand","#solcrossproductbyhand",
[["$\\begin{pmatrix} -4 \\\\ 2 \\\\ -6\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 1 \\\\ -2\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -44 \\\\ -16\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ -4\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -7 \\\\ 1\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} -27 \\\\ 23 \\\\ -1\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} -5 \\\\ 2 \\\\ -5\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 17 \\\\ -25 \\\\ -27\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} 5 \\\\ 5 \\\\ 1\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 6 \\\\ 2\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ -4 \\\\ 0\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} 6 \\\\ -6 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} -24 \\\\ -36 \\\\ -24\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ -2 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -5 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 23 \\\\ -5 \\\\ -34\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} -4 \\\\ 4 \\\\ -4\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -4 \\\\ 5\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ -4 \\\\ -8\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} 7 \\\\ 6 \\\\ -6\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 7 \\\\ 7\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 84 \\\\ -43 \\\\ 55\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} -7 \\\\ -2 \\\\ 5\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 7 \\\\ 3\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} -41 \\\\ 16 \\\\ -51\\end{pmatrix} $"], ["$\\begin{pmatrix} -6 \\\\ -2 \\\\ -1\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 5 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\begin{pmatrix} 13 \\\\ -23 \\\\ -32\\end{pmatrix} $"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exocrossproductbyhand"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solcrossproductbyhand"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby kreuzprodukt-von-hand.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>