miniaufgabe.js
==== 25. November 2024 bis 29. November 2024 ====
=== Dienstag 26. November 2024 ===
Skalieren Sie den Vektor auf die gewünschte Länge. Alle Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben.
miniAufgabe("#exovectolength","#solvectolength",
[["$\\begin{pmatrix} \\frac{3}{7} \\\\ -\\frac{6}{7} \\\\ -\\frac{6}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{3}{7} \\\\ -\\frac{6}{7} \\\\ -\\frac{6}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{49}+\\frac{36}{49}+\\frac{36}{49}} = \\sqrt{\\frac{81}{49}} = \\frac{9}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{3}{7} \\\\ -\\frac{6}{7} \\\\ -\\frac{6}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{9} \\cdot \\frac{9}{5} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{7} \\\\ -\\frac{6}{7} \\\\ -\\frac{6}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{5} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{7}{6} \\\\ -\\frac{7}{3} \\\\ -\\frac{7}{3}\\end{pmatrix} $ auf Länge $4$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{7}{6} \\\\ -\\frac{7}{3} \\\\ -\\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{49}{36}+\\frac{49}{9}+\\frac{49}{9}} = \\sqrt{\\frac{49}{4}} = \\frac{7}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{7}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $4$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{7}{6} \\\\ -\\frac{7}{3} \\\\ -\\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{7} \\cdot 4 = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{6} \\\\ -\\frac{7}{3} \\\\ -\\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{8}{7} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{8}{3} \\\\ -\\frac{8}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{18}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} = \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{18}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot \\frac{18}{5} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{3}{2} = \\begin{pmatrix} -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{12}{5} \\\\ \\frac{12}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{15}{2}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{15}{2}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{15}{2} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{3} = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{2} \\\\ -5 \\\\ 5\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{9}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{7} \\\\ \\frac{6}{7} \\\\ \\frac{6}{7}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{6}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{4}{25}+\\frac{16}{25}+\\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{36}{25}} = \\frac{6}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{6}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{6}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{6}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{4}{7}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{15}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{49}+\\frac{64}{49}+\\frac{64}{49}} = \\sqrt{\\frac{144}{49}} = \\frac{12}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{15}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{15}{7} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{4} = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{7} \\\\ -\\frac{10}{7} \\\\ -\\frac{10}{7}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{15}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{15}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{15}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{6} = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ \\frac{5}{2} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{7}{6} \\\\ \\frac{7}{3} \\\\ \\frac{7}{3}\\end{pmatrix} $ auf Länge $2$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{7}{6} \\\\ \\frac{7}{3} \\\\ \\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{49}{36}+\\frac{49}{9}+\\frac{49}{9}} = \\sqrt{\\frac{49}{4}} = \\frac{7}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{7}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $2$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{7}{6} \\\\ \\frac{7}{3} \\\\ \\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{7} \\cdot 2 = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{6} \\\\ \\frac{7}{3} \\\\ \\frac{7}{3}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{4}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ \\frac{4}{3} \\\\ \\frac{4}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{4}{5} \\\\ \\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{24}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{4}{5} \\\\ \\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} = \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{24}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{4}{5} \\\\ \\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot \\frac{24}{7} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{5} \\\\ \\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{10}{7} = \\begin{pmatrix} \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{16}{7} \\\\ \\frac{16}{7}\\end{pmatrix} $."]],
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", "
");
ruby vektoren-auf-laenge-skalieren.rb 1
=== Donnerstag 28. November 2024 ===
Bestimmen Sie von Hand den ungefähren Winkel (auf $15^\circ$ genau) zwischen den Vektoren $\vec u$ und $\vec v$. Machen Sie eine Skizze im Einheitskreis, um den Winkel zum errechneten Cosinus-Wert zu bestimmen.miniAufgabe("#exowinkelzwischenvektorenvonhand","#solwinkelzwischenvektorenvonhand",
[["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -2 \\\\ -1\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -1 \\\\ -2\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{8}{3 \\cdot 3} = \\frac{8}{9} \\approx 0.89$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 27$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ 7\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ -5 \\\\ 10\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{90}{9 \\cdot 15} = \\frac{2}{3} \\approx 0.67$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 48$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -8 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -6 \\\\ 6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{12}{12 \\cdot 9} = \\frac{1}{9} \\approx 0.11$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 84$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 5 \\\\ -10\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{15}{15 \\cdot 9} = \\frac{1}{9} \\approx 0.11$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 84$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ -5 \\\\ -10\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 8 \\\\ 4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-90}{15 \\cdot 9} = -\\frac{2}{3} \\approx -0.66$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 132$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 10 \\\\ 5\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-60}{15 \\cdot 9} = -\\frac{4}{9} \\approx -0.43$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 116$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -10 \\\\ -5\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{60}{15 \\cdot 9} = \\frac{4}{9} \\approx 0.44$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 64$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ 10 \\\\ -5\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 8 \\\\ 4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-20}{15 \\cdot 12} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 8 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 4 \\\\ -8\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{128}{12 \\cdot 12} = \\frac{8}{9} \\approx 0.89$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 27$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 2\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 8 \\\\ 8\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{32}{3 \\cdot 12} = \\frac{8}{9} \\approx 0.89$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 27$^\\circ$"]],
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ruby winkel-zwischen-vektoren-von-hand.rb 1