miniaufgabe.js ==== 4. November 2024 bis 8. November 2024 ==== === Dienstag 5. November 2024 === Alle Berechnungen von Hand. Berechnen Sie den Durchschnitt $\overline{x}$ und die empirische Standardabweichung $s$ von der ersten Wertereihe. Berechnen Sie das 1. und 3. Quartil von der zweiten, aufsteigend sortierten Wertereihe $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$. miniAufgabe("#exostddevundQuartile","#solstddevundQuartile", [["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 12, 13, 16, 20, 24
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=82$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & \\ldots & x_{61} & x_{62} & x_{63} & x_{64} & x_{65}\\\\\n \\ldots & 62 & 63 & 73 & 73 & 73 & \\ldots & 127, & 131, & 132, & 133, & 134,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 17$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(25+16+1+9+49\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 100 = 25$ also $\\sigma = \\sqrt{25} = 5$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 81 = 21.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{21}=63$ und $x_{22}=73$. Das erste Quartil ist damit $63 + 0.25 \\cdot (73-63) = 65.5$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 81 = 61.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{61}=127$ und $x_{62}=131$. Das dritte Quartil ist damit $127 + 0.75 \\cdot (131-127) = 130.0$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 16, 17, 12, 20, 10
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=50$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & \\ldots & x_{34} & x_{35} & x_{36} & x_{37} & x_{38}\\\\\n \\ldots & 73 & 74 & 74 & 78 & 86 & \\ldots & 116, & 117, & 117, & 120, & 124,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 15$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(1+4+9+25+25\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 64 = 16$ also $\\sigma = \\sqrt{16} = 4$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 49 = 13.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{13}=73$ und $x_{14}=74$. Das erste Quartil ist damit $73 + 0.25 \\cdot (74-73) = 73.25$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 49 = 37.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{37}=120$ und $x_{38}=124$. Das dritte Quartil ist damit $120 + 0.75 \\cdot (124-120) = 123.0$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 10, 15, 18, 16, 16
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=46$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & \\ldots & x_{32} & x_{33} & x_{34} & x_{35} & x_{36}\\\\\n \\ldots & 62 & 65 & 66 & 69 & 72 & \\ldots & 130, & 132, & 132, & 134, & 136,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 15$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(25+0+9+1+1\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 36 = 9$ also $\\sigma = \\sqrt{9} = 3$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 45 = 12.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{12}=65$ und $x_{13}=66$. Das erste Quartil ist damit $65 + 0.25 \\cdot (66-65) = 65.25$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 45 = 34.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{34}=132$ und $x_{35}=134$. Das dritte Quartil ist damit $132 + 0.75 \\cdot (134-132) = 133.5$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 11, 15, 17, 10, 7
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=42$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{8} & x_{9} & x_{10} & x_{11} & x_{12} & \\ldots & x_{30} & x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34}\\\\\n \\ldots & 52 & 55 & 58 & 59 & 70 & \\ldots & 121, & 126, & 131, & 131, & 133,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 12$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(1+9+25+4+25\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 64 = 16$ also $\\sigma = \\sqrt{16} = 4$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 41 = 11.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{11}=59$ und $x_{12}=70$. Das erste Quartil ist damit $59 + 0.25 \\cdot (70-59) = 61.75$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 41 = 31.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{31}=126$ und $x_{32}=131$. Das dritte Quartil ist damit $126 + 0.75 \\cdot (131-126) = 129.75$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 14, 16, 18, 20, 7
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=56$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & \\ldots & x_{42} & x_{43} & x_{44} & x_{45} & x_{46}\\\\\n \\ldots & 70 & 73 & 78 & 80 & 81 & \\ldots & 119, & 120, & 129, & 132, & 146,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 15$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(1+1+9+25+64\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 100 = 25$ also $\\sigma = \\sqrt{25} = 5$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 55 = 14.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{14}=70$ und $x_{15}=73$. Das erste Quartil ist damit $70 + 0.75 \\cdot (73-70) = 72.25$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 55 = 42.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{42}=119$ und $x_{43}=120$. Das dritte Quartil ist damit $119 + 0.25 \\cdot (120-119) = 119.25$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 20, 16, 24, 14, 21
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=62$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & \\ldots & x_{44} & x_{45} & x_{46} & x_{47} & x_{48}\\\\\n \\ldots & 63 & 63 & 66 & 67 & 70 & \\ldots & 131, & 132, & 133, & 135, & 142,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 19$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(1+9+25+25+4\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 64 = 16$ also $\\sigma = \\sqrt{16} = 4$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 61 = 16.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{16}=67$ und $x_{17}=70$. Das erste Quartil ist damit $67 + 0.25 \\cdot (70-67) = 67.75$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 61 = 46.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{46}=133$ und $x_{47}=135$. Das dritte Quartil ist damit $133 + 0.75 \\cdot (135-133) = 134.5$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 16, 17, 21, 23, 13
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=60$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & \\ldots & x_{43} & x_{44} & x_{45} & x_{46} & x_{47}\\\\\n \\ldots & 58 & 59 & 60 & 60 & 61 & \\ldots & 121, & 121, & 125, & 128, & 129,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 18$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(4+1+9+25+25\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 64 = 16$ also $\\sigma = \\sqrt{16} = 4$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 59 = 15.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{15}=59$ und $x_{16}=60$. Das erste Quartil ist damit $59 + 0.75 \\cdot (60-59) = 59.75$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 59 = 45.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{45}=125$ und $x_{46}=128$. Das dritte Quartil ist damit $125 + 0.25 \\cdot (128-125) = 125.75$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 12, 14, 10, 16, 23
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=62$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & x_{19} & \\ldots & x_{46} & x_{47} & x_{48} & x_{49} & x_{50}\\\\\n \\ldots & 78 & 83 & 85 & 85 & 87 & \\ldots & 124, & 126, & 131, & 135, & 140,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 15$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(9+1+25+1+64\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 100 = 25$ also $\\sigma = \\sqrt{25} = 5$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 61 = 16.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{16}=83$ und $x_{17}=85$. Das erste Quartil ist damit $83 + 0.25 \\cdot (85-83) = 83.5$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 61 = 46.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{46}=124$ und $x_{47}=126$. Das dritte Quartil ist damit $124 + 0.75 \\cdot (126-124) = 125.5$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 16, 15, 14, 14, 6
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=62$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & \\ldots & x_{46} & x_{47} & x_{48} & x_{49} & x_{50}\\\\\n \\ldots & 63 & 70 & 74 & 76 & 77 & \\ldots & 126, & 139, & 139, & 141, & 151,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 13$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(9+4+1+1+49\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 64 = 16$ also $\\sigma = \\sqrt{16} = 4$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 61 = 16.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{16}=76$ und $x_{17}=77$. Das erste Quartil ist damit $76 + 0.25 \\cdot (77-76) = 76.25$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 61 = 46.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{46}=126$ und $x_{47}=139$. Das dritte Quartil ist damit $126 + 0.75 \\cdot (139-126) = 135.75$
"], ["$\\overline{x}$ und $s$ der Wertereihe: 15, 11, 13, 9, 2
\n1. und 3. Quartil: Anzahl Werte $n=94$.
$\\begin{array}{lccccclcccccl}\n\\ldots & x_{23} & x_{24} & x_{25} & x_{26} & x_{27} & \\ldots & x_{69} & x_{70} & x_{71} & x_{72} & x_{73}\\\\\n \\ldots & 65 & 65 & 67 & 67 & 68 & \\ldots & 131, & 132, & 133, & 133, & 133,\\\\\n \\end{array}$$\\ldots$", "$\\mu = 10$, $\\sigma^2 = \\frac{1}{n-1} \\cdot \\sum_{i=1}^{n} (x_i-\\mu)^2 = \\frac{1}{4} \\cdot \\left(25+1+9+1+64\\right) = \\frac{1}{4}\\cdot 100 = 25$ also $\\sigma = \\sqrt{25} = 5$
\n
\nPosition für erstes Quartil: $1+0.25\\cdot 93 = 24.25$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.25 zwischen $x_{24}=65$ und $x_{25}=67$. Das erste Quartil ist damit $65 + 0.25 \\cdot (67-65) = 65.5$
Position für drittes Quartil: $i=1+0.75\\cdot 93 = 70.75$. Wir suchen also einen Wert an der Stelle 0.75 zwischen $x_{70}=132$ und $x_{71}=133$. Das dritte Quartil ist damit $132 + 0.75 \\cdot (133-132) = 132.75$
"]], "
", "
");
ruby mittelwert-median-stddev.rb 5
 === Donnerstag 7. November 2024 === In einer Umfrage wird etwas gefragt, worauf nur die Antwort Nein(0) oder Ja(1) gegeben wird. Die Anzahl $n$ der Antworten, der Durchschnitt $\mu$ der Antworten und die Standardabweichung $\sigma$ der Wertereihe sind bekannt. Geben Sie 95%-Vertrauensintervall für das Umfrageergebnis an. miniAufgabe("#exovertrauensintervall","#solvertrauensintervall", [["$n=100$, $\\mu=0.40$, $\\sigma=0.24$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.24}{10} = 0.0240$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 35.20% und 44.80% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=144$, $\\mu=0.70$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{12} = 0.0175$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 66.50% und 73.50% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=225$, $\\mu=0.30$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{15} = 0.0140$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 27.20% und 32.80% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=400$, $\\mu=0.30$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{20} = 0.0105$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 27.90% und 32.10% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=625$, $\\mu=0.70$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{25} = 0.0084$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 68.32% und 71.68% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=900$, $\\mu=0.30$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{30} = 0.0070$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 28.60% und 31.40% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=1600$, $\\mu=0.40$, $\\sigma=0.24$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.24}{40} = 0.0060$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 38.80% und 41.20% Anteil Ja-Antworten."], ["$n=2500$, $\\mu=0.30$, $\\sigma=0.21$.", "$\\sigma_{\\mu} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{0.21}{50} = 0.0042$
95%-Vertrauensintervall: $\\mu \\pm 2\\sigma_{\\mu}$ also zwischen 29.16% und 30.84% Anteil Ja-Antworten."]], "
", "
");
ruby mittelwert-median-stddev.rb 3