<PRELOAD>
  miniaufgabe.js
</PRELOAD>


==== 28. Oktober 2024 bis 1. November 2024 ====
=== Dienstag 29. Oktober 2024 ===
Sei $X$ eine Zufallsvariable die die Anzahl «Kopf»-Würfe bei $n$ fairen Münzwürfen angibt. Berechnen Sie (mit dem TR) und geben Sie das Resultat sowohl exakt wie auch in wissenschaftlicher Schreibweise an:<JS>miniAufgabe("#exomuenzwurfwkeiten","#solmuenzwurfwkeiten",
[["$n=31$, berechnen Sie $P(X=27)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{31}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 27 «Kopf»-Würfe auf 31 Positionen zu verteilen: $\\binom{31}{27}$.<br>\n\n$P(X=27) = \\frac{\\binom{31}{27}}{2^{31}} = \\frac{31465}{2147483648} \\approx 1.465203 \\cdot 10^{-5}$"], ["$n=29$, berechnen Sie $P(X=24)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{29}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 24 «Kopf»-Würfe auf 29 Positionen zu verteilen: $\\binom{29}{24}$.<br>\n\n$P(X=24) = \\frac{\\binom{29}{24}}{2^{29}} = \\frac{118755}{536870912} \\approx 2.211984 \\cdot 10^{-4}$"], ["$n=30$, berechnen Sie $P(X=6)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{30}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 6 «Kopf»-Würfe auf 30 Positionen zu verteilen: $\\binom{30}{6}$.<br>\n\n$P(X=6) = \\frac{\\binom{30}{6}}{2^{30}} = \\frac{593775}{1073741824} \\approx 5.529961 \\cdot 10^{-4}$"], ["$n=27$, berechnen Sie $P(X=5)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{27}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 5 «Kopf»-Würfe auf 27 Positionen zu verteilen: $\\binom{27}{5}$.<br>\n\n$P(X=5) = \\frac{\\binom{27}{5}}{2^{27}} = \\frac{40365}{67108864} \\approx 6.014854 \\cdot 10^{-4}$"], ["$n=38$, berechnen Sie $P(X=30)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{38}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 30 «Kopf»-Würfe auf 38 Positionen zu verteilen: $\\binom{38}{30}$.<br>\n\n$P(X=30) = \\frac{\\binom{38}{30}}{2^{38}} = \\frac{12225873}{68719476736} \\approx 1.779099 \\cdot 10^{-4}$"], ["$n=28$, berechnen Sie $P(X=26)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{28}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 26 «Kopf»-Würfe auf 28 Positionen zu verteilen: $\\binom{28}{26}$.<br>\n\n$P(X=26) = \\frac{\\binom{28}{26}}{2^{28}} = \\frac{189}{134217728} \\approx 1.40816 \\cdot 10^{-6}$"], ["$n=32$, berechnen Sie $P(X=21)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{32}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 21 «Kopf»-Würfe auf 32 Positionen zu verteilen: $\\binom{32}{21}$.<br>\n\n$P(X=21) = \\frac{\\binom{32}{21}}{2^{32}} = \\frac{4032015}{134217728} \\approx 3.004085 \\cdot 10^{-2}$"], ["$n=20$, berechnen Sie $P(X=16)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{20}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 16 «Kopf»-Würfe auf 20 Positionen zu verteilen: $\\binom{20}{16}$.<br>\n\n$P(X=16) = \\frac{\\binom{20}{16}}{2^{20}} = \\frac{4845}{1048576} \\approx 4.620552 \\cdot 10^{-3}$"], ["$n=21$, berechnen Sie $P(X=0)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{21}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 0 «Kopf»-Würfe auf 21 Positionen zu verteilen: $\\binom{21}{0}$.<br>\n\n$P(X=0) = \\frac{\\binom{21}{0}}{2^{21}} = \\frac{1}{2097152} \\approx 4.768372 \\cdot 10^{-7}$"], ["$n=36$, berechnen Sie $P(X=28)$", "Anzahl mögliche Wurfsequenzen (2 Möglichkeiten pro Wurf): $2^{36}$.<br>\n\nAnzahl Möglichkeiten, die 28 «Kopf»-Würfe auf 36 Positionen zu verteilen: $\\binom{36}{28}$.<br>\n\n$P(X=28) = \\frac{\\binom{36}{28}}{2^{36}} = \\frac{7565085}{17179869184} \\approx 4.403459 \\cdot 10^{-4}$"]],
" <hr> ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exomuenzwurfwkeiten"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solmuenzwurfwkeiten"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby binomialverteilung-wkeiten.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Donnerstag 31. Oktober 2024 ===
Ein Glückspiel kostet einen Einsatz von $e$ Franken. Berechnen Sie (ohne TR) den zu erwartenden Gewinn bzw. Verlust, wenn die Gewinnbeträge mit ihren Wahrscheinlichkeiten gegeben sind:<JS>miniAufgabe("#exoerwartungswert","#solerwartungswert",
[["$e=\\frac{5}{3}$, Verlust des Einsatzes mit $p=19/32$, Gewinn von $\\frac{1}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{5}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{8}{3}$ mit $p=\\frac{3}{32}$.", "$E=\\frac{19}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{1}{3}-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{5}-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{3}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{3}-\\frac{5}{3}\\right) = \\frac{19}{32} \\cdot -\\frac{5}{3}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{4}{3}+\\frac{3}{16} \\cdot -\\frac{13}{15}+\\frac{3}{32} \\cdot 1 = -\\frac{95}{96}+-\\frac{1}{6}+-\\frac{13}{80}+\\frac{3}{32} = -\\frac{49}{40}$"], ["$e=\\frac{3}{2}$, Verlust des Einsatzes mit $p=19/32$, Gewinn von $\\frac{1}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{3}{32}$.", "$E=\\frac{19}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{1}{3}-\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}-\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{3}{32} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{19}{32} \\cdot -\\frac{3}{2}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{7}{6}+\\frac{3}{16} \\cdot -\\frac{1}{6}+\\frac{3}{32} \\cdot -\\frac{1}{6} = -\\frac{57}{64}+-\\frac{7}{48}+-\\frac{1}{32}+-\\frac{1}{64} = -\\frac{13}{12}$"], ["$e=-\\frac{4}{3}$, Verlust des Einsatzes mit $p=17/32$, Gewinn von $\\frac{2}{5}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{5}$ mit $p=\\frac{5}{16}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{1}{32}$.", "$E=\\frac{17}{32} \\cdot \\left(0--\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}--\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{5}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{5}--\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{1}{32} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}--\\frac{4}{3}\\right) = \\frac{17}{32} \\cdot \\frac{4}{3}+\\frac{1}{8} \\cdot \\frac{26}{15}+\\frac{5}{16} \\cdot \\frac{32}{15}+\\frac{1}{32} \\cdot \\frac{8}{3} = \\frac{17}{24}+\\frac{13}{60}+\\frac{2}{3}+\\frac{1}{12} = \\frac{67}{40}$"], ["$e=\\frac{4}{5}$, Verlust des Einsatzes mit $p=25/32$, Gewinn von $\\frac{2}{5}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{5}$ mit $p=\\frac{1}{16}$, $\\frac{8}{5}$ mit $p=\\frac{1}{32}$.", "$E=\\frac{25}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}-\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{1}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{5}-\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{1}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{5}-\\frac{4}{5}\\right) = \\frac{25}{32} \\cdot -\\frac{4}{5}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{2}{5}+\\frac{1}{16} \\cdot 0+\\frac{1}{32} \\cdot \\frac{4}{5} = -\\frac{5}{8}+-\\frac{1}{20}+0+\\frac{1}{40} = -\\frac{13}{20}$"], ["$e=-\\frac{1}{2}$, Verlust des Einsatzes mit $p=19/32$, Gewinn von $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{8}{3}$ mit $p=\\frac{3}{32}$.", "$E=\\frac{19}{32} \\cdot \\left(0--\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}--\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}--\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{3}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{3}--\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{19}{32} \\cdot \\frac{1}{2}+\\frac{1}{8} \\cdot \\frac{7}{6}+\\frac{3}{16} \\cdot \\frac{11}{6}+\\frac{3}{32} \\cdot \\frac{19}{6} = \\frac{19}{64}+\\frac{7}{48}+\\frac{11}{32}+\\frac{19}{64} = \\frac{13}{12}$"], ["$e=-\\frac{4}{5}$, Verlust des Einsatzes mit $p=21/32$, Gewinn von $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{1}{16}$, $\\frac{8}{5}$ mit $p=\\frac{5}{32}$.", "$E=\\frac{21}{32} \\cdot \\left(0--\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}--\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{1}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}--\\frac{4}{5}\\right)+\\frac{5}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{5}--\\frac{4}{5}\\right) = \\frac{21}{32} \\cdot \\frac{4}{5}+\\frac{1}{8} \\cdot \\frac{22}{15}+\\frac{1}{16} \\cdot \\frac{32}{15}+\\frac{5}{32} \\cdot \\frac{12}{5} = \\frac{21}{40}+\\frac{11}{60}+\\frac{2}{15}+\\frac{3}{8} = \\frac{73}{60}$"], ["$e=\\frac{5}{3}$, Verlust des Einsatzes mit $p=21/32$, Gewinn von $\\frac{1}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{8}{3}$ mit $p=\\frac{1}{32}$.", "$E=\\frac{21}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{1}{3}-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}-\\frac{5}{3}\\right)+\\frac{1}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{3}-\\frac{5}{3}\\right) = \\frac{21}{32} \\cdot -\\frac{5}{3}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{4}{3}+\\frac{3}{16} \\cdot -1+\\frac{1}{32} \\cdot 1 = -\\frac{35}{32}+-\\frac{1}{6}+-\\frac{3}{16}+\\frac{1}{32} = -\\frac{17}{12}$"], ["$e=\\frac{4}{3}$, Verlust des Einsatzes mit $p=21/32$, Gewinn von $\\frac{2}{5}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{8}{3}$ mit $p=\\frac{1}{32}$.", "$E=\\frac{21}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{1}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{3}-\\frac{4}{3}\\right) = \\frac{21}{32} \\cdot -\\frac{4}{3}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{14}{15}+\\frac{3}{16} \\cdot 0+\\frac{1}{32} \\cdot \\frac{4}{3} = -\\frac{7}{8}+-\\frac{7}{60}+0+\\frac{1}{24} = -\\frac{19}{20}$"], ["$e=-\\frac{3}{2}$, Verlust des Einsatzes mit $p=23/32$, Gewinn von $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{1}{16}$, $\\frac{8}{3}$ mit $p=\\frac{3}{32}$.", "$E=\\frac{23}{32} \\cdot \\left(0--\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}--\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{1}{16} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}--\\frac{3}{2}\\right)+\\frac{3}{32} \\cdot \\left(\\frac{8}{3}--\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{23}{32} \\cdot \\frac{3}{2}+\\frac{1}{8} \\cdot \\frac{13}{6}+\\frac{1}{16} \\cdot \\frac{13}{6}+\\frac{3}{32} \\cdot \\frac{25}{6} = \\frac{69}{64}+\\frac{13}{48}+\\frac{13}{96}+\\frac{25}{64} = \\frac{15}{8}$"], ["$e=\\frac{4}{3}$, Verlust des Einsatzes mit $p=19/32$, Gewinn von $\\frac{2}{5}$ mit $p=\\frac{1}{8}$, $\\frac{2}{3}$ mit $p=\\frac{3}{16}$, $\\frac{4}{3}$ mit $p=\\frac{3}{32}$.", "$E=\\frac{19}{32} \\cdot \\left(0-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{1}{8} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{3}{16} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)+\\frac{3}{32} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}-\\frac{4}{3}\\right) = \\frac{19}{32} \\cdot -\\frac{4}{3}+\\frac{1}{8} \\cdot -\\frac{14}{15}+\\frac{3}{16} \\cdot -\\frac{2}{3}+\\frac{3}{32} \\cdot 0 = -\\frac{19}{24}+-\\frac{7}{60}+-\\frac{1}{8}+0 = -\\frac{31}{30}$"]],
" <br> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exoerwartungswert"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solerwartungswert"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby erwartungswert.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>