miniaufgabe.js ==== 27. Mai 2024 bis 31. Mai 2024 ==== === Dienstag 28. Mai 2024 === Zeigen Sie, dass von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt das Quadrat jenes mit minimalem Umfang ist. Sei $A$ die konstante Fläche der Rechtecke und $x$ die Seitenlänge eines dieser Rechtecke. Also ist $y=\frac{A}{x}$ die andere Seitenlänge. Damit ist der Umfang $U(x)=2(x+y) = 2\left(x+\frac{A}{x}\right)$. Wir suchen $x$ so, dass $U(x)$ minimal ist. Dazu bestimmen wir die Extremalstellen durch Nullsetzen der Ableitung $U'(x)=0$: $$\begin{align*} U'(x) = 2\left(1-\frac{A}{x^2}\right) & = 0 \\ 1 & = \frac{A}{x^2} && x \neq 0 \\ x^2 & = A && x>0 \\ x & = \sqrt{A} \end{align*}$$ Für $x$ nahe bei Null, sowie für grosse $x$ wird der Umfang beliebig gross. Es muss sich also um das globale Minimum handeln. Alternativ könnte man dafür die zweite Ableitung $U''(x) = 2\frac{A}{x^3}$ betrachten, die immer positiv ist (für positive $x$). Damit «macht der Graph immer eine Linkskurve» und wir haben ein echtes Minimum gefunden (und keinen Sattelpunkt). Wenn $x=\sqrt{A}$ ist natürlich auch $y=\sqrt{A}$. So das Rechteck mit minimalen Umfang bei gegebener Fläche ein Quadrat. === Mittwoch 29. Mai 2024 === Gegeben ist folgende Tabelle einer Kurvendiskussion. Zeichnen Sie die Punkte mit Tangenten ein und skzizieren Sie dann den Graphen unter der Annahmne, dass die dritte Ableitung von Null verschieden ist.miniAufgabe("#exotable-to-graph","#soltable-to-graph", [["\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -5.5     0.3     -2.0     4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     3.0     -2.0     1.0  
$f'(x)$   4.0     -2.0     0.0     0.0     -5.0  
$f''(x)$   $<0$     $>0$     $<0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -5.5     0.3     -2.0     4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     -3.0     2.0     -1.0  
$f'(x)$   -4.0     2.0     0.0     0.0     5.0  
$f''(x)$   $>0$     $<0$     $>0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   5.5     -0.3     2.0     -4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     3.0     -2.0     1.0  
$f'(x)$   -4.0     2.0     0.0     0.0     5.0  
$f''(x)$   $<0$     $>0$     $<0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   5.5     -0.3     2.0     -4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     -3.0     2.0     -1.0  
$f'(x)$   4.0     -2.0     0.0     0.0     -5.0  
$f''(x)$   $>0$     $<0$     $>0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -0.3     5.0     2.0     -4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     -3.0     2.0     -1.0  
$f'(x)$   -2.0     2.0     0.0     -0.2     -4.0  
$f''(x)$   $<0$     $>0$     $>0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -0.3     5.0     2.0     -4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     3.0     -2.0     1.0  
$f'(x)$   2.0     -2.0     0.0     0.2     4.0  
$f''(x)$   $>0$     $<0$     $<0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   0.3     -5.0     -2.0     4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     -3.0     2.0     -1.0  
$f'(x)$   2.0     -2.0     0.0     0.2     4.0  
$f''(x)$   $<0$     $>0$     $>0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   0.3     -5.0     -2.0     4.0     0.0  
$f(x)$   0.0     0.0     3.0     -2.0     1.0  
$f'(x)$   -2.0     2.0     0.0     -0.2     -4.0  
$f''(x)$   $>0$     $<0$     $<0$     0     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -5.0     -3.0     3.0     -4.0     0.0     -2.5  
$f(x)$   0.0     0.0     0.0     1.0     -4.0     -2.0  
$f'(x)$   2.0     -2.0     6.0     0.0     0.0     -8.0  
$f''(x)$   $<0$     $<0$     0     $<0$     $>0$     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   -5.0     -3.0     3.0     -4.0     0.0     -2.5  
$f(x)$   0.0     0.0     0.0     -1.0     4.0     2.0  
$f'(x)$   -2.0     2.0     -6.0     0.0     0.0     8.0  
$f''(x)$   $>0$     $>0$     0     $>0$     $<0$     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"], ["
$x$   5.0     3.0     -3.0     4.0     0.0     2.5  
$f(x)$   0.0     0.0     0.0     1.0     -4.0     -2.0  
$f'(x)$   -2.0     2.0     -6.0     0.0     0.0     8.0  
$f''(x)$   $<0$     $<0$     0     $<0$     $>0$     0  
\n\n\n\n", "−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234xy\n"]]);
ruby kurvendiskussion-mit-tabelle.rb 1
$x$   5.0     3.0     -3.0     4.0     0.0     2.5  
$f(x)$   0.0     0.0     0.0     -1.0     4.0     2.0  
$f'(x)$   2.0     -2.0     6.0     0.0     0.0     -8.0  
$f''(x)$   $>0$     $>0$     0     $>0$     $<0$     0