==== 29. Mai 2017 bis 2. Juni 2017 ====
=== Dienstag 30. Mai 2017 ===
**Achtung, dynamische Aufgabe**. //Hinweis: Steht bei einem Wurzelterm die Wurzel im Nenner, wird mit dieser Wurzel erweitert (unten und oben multipliziert), um den Nenner wurzelfrei zu schreiben.//

<JS>

function generate(jQuery, idex, idsol, what) {

    what = (typeof what !== 'undefined') ?  what : "3d";
    
    var randi = function(m) {
	return Math.floor(Math.random()*m);
    };

    var dispVec = function(a) {
	return "\\begin{pmatrix}"+a[0]+"\\\\ "+a[1]+"\\\\ "+a[2]+" \\end{pmatrix}";
    };
    var dispPoint = function(a) {
	return "\\left("+a[0]+", "+a[1]+", "+a[2]+" \\right)";
    };
    var vecDiff = function(a,b) {
	return [a[0]-b[0], a[1]-b[1], a[2]-b[2]];
    };
    var vecSum = function(a,b) {
	return [a[0]+b[0], a[1]+b[1], a[2]+b[2]];
    };
    var lensq = function(a) {
	return a[0]*a[0]+a[1]*a[1]+a[2]*a[2];
    };
    var quadrFactor = function(w) {
	var f = 1;
	for (var i=2; i*i<=w; i++) {
	    while (w % (i*i) == 0) {
		w/=i*i;
		f*=i;
	    }
	}
	return f;
    }
    
    var normalform = function(w, full) {
	full = (typeof full !== 'undefined') ?  full : true;
	var r="";
	if (full) {
	    r = "\\sqrt{"+w+"}";
	}
	var f = quadrFactor(w);
	w = w/(f*f);
	if (f!=1) {
	    if (w!=1) {
		r+=(full ? "=" : "")+f+"\\sqrt{"+w+"}";
	    } else {
		r+=(full ? "=" : "")+f;
	    }
	}
	if (r=="") {
	    r = "\\sqrt{"+w+"}";
	}
	return r;
    };

    var ggt = function(a,b) {
	if (b==0) return a;
	return ggt(b, a % b);
    }

    var normalkehrwert = function(mul, w) {
	//console.log("mul="+mul+" w="+w);
	var f = quadrFactor(w);
	w = w/(f*f);
	var g = ggt(Math.abs(mul),f*w);
	var z = mul/g;
	var n = f*w/g;
	//console.log("f="+f+"  z="+z+" n="+n);
	var r = (z<0) ? "-" : "";
	z = Math.abs(z);
	if (n==1) {
	    r+=z;
	} else {
	    r+="\\frac{"+z+"}{"+n+"}";
	}
	if (w!=1) {
	    r+="\\cdot \\sqrt{"+w+"}"
	}
	return r;
	
    }

    var nicePoints = function(maxComp) {
	var vecs;
	var pts;
	for (var k=0; k<2000; k++) {
	    vecs = [];
	    for (var i=0; i<2; i++) {
		vecs[i]=[];
		for (var j=0; j<3; j++) {
		    vecs[i].push((randi(maxComp)+1));
		}
		if (i==0) {
		    vecs[i][0] = -vecs[i][0];
		} else {
		    vecs[i][1] = -vecs[i][1];
		    vecs[i][2] = -vecs[i][2];
		}
	    }
	    var pts = [[randi(maxComp)+1, -randi(maxComp)-1, randi(maxComp)+1]];
	    pts.push(vecSum(pts[0],vecs[0]));
	    pts.push(vecSum(pts[1],vecs[1]));
	    var v3 = vecSum(vecs[0], vecs[1]);
	    if (quadrFactor(lensq(vecs[0]))>1 &&
		quadrFactor(lensq(vecs[1]))>1 &&
		quadrFactor(lensq(v3))>1 &&
		v3[0]*v3[1]*v3[2]!=0 &&
		quadrFactor(lensq(vecs[0]))*quadrFactor(lensq(vecs[0]))!=lensq(vecs[0]) &&
		quadrFactor(lensq(vecs[1]))*quadrFactor(lensq(vecs[1]))!=lensq(vecs[1]) &&
		quadrFactor(lensq(v3))*quadrFactor(lensq(v3))!=lensq(v3)) {
		
		return pts;
	    }
	}
	console.log("Sorry...");
	return pts;
    };

    var nice2dvec = function(maxComp) {
	var vec;
	for (var k=0; k<2000; k++) {
	    vec = [];
	    for (var j=0; j<2; j++) {
		vec.push((randi(maxComp)+1));
		if (Math.random()<0.5) {
		    vec[j]=-vec[j];
		}
	    }
	    vec.push(0);
	    
	    if (quadrFactor(lensq(vec))>1 && 
		quadrFactor(lensq(vec))*quadrFactor(lensq(vec))!=lensq(vec)) {
		return vec;
	    }
	}
	console.log("Sorry...");
	return vec;
    }

    if (what=="3d") {
    
	var vecs=nicePoints(7);
	
	var pnames = ["A","B", "C"];
	var ex = "Gegeben sind drei Punkte: ";
	for (var i=0; i<3; i++) {
	    ex+="$"+pnames[i]+"="+dispPoint(vecs[i])+"$"+(i==2 ? "." : ", ");	
	}
	ex += "<br>Berechnen Sie die Komponenten und die Länge (Wurzeln in Normalform) von<br>\
1. $\\vec{AB}$<br>\
2. $\\vec{AC}$<br>\
3. $\\vec{BC}$";
	jQuery(idex).append(ex);
	var sol = ""
	var n = 1;
	for (var i=0; i<2; i++) {
	    for (var j=i+1; j<3; j++) {
		var diff = vecDiff(vecs[j],vecs[i])
		sol+=n+". $"+dispVec(diff)+"$";
		sol+=", Länge $"+normalform(lensq(diff))+"$<br>";
		n++;
	    }
	}
	jQuery(idsol).append(sol);
    } else {
	var sol = "";
	var ex = "Bestimmen Sie einen Vektor $\\vec u$ mit Länge 1, der rechtwinklig auf den Vektor $\\vec v$ steht. Geben Sie die Komponenten von $\\vec u$ mit Wurzeln in Normalform an.<br><br>\n";
	for (var i=1; i<=3; i++) {
	    var vec = nice2dvec(9);
	    ex+=""+i+". &nbsp; $\\vec v = \\begin{pmatrix} "+vec[0]+"\\\\ "+vec[1]+" \\end{pmatrix}$ <br>\n";
	    sol += ""+i+". &nbsp; $|\\vec v| = "+normalform(lensq(vec))+"$. ";
	    sol += "Damit ist der gesuchte Vektor $\\vec u = \\pm \\frac{1}{"+normalform(lensq(vec),false)+"} \\cdot \\begin{pmatrix} "+(-vec[1])+"\\\\ "+vec[0]+" \\end{pmatrix} = ";
	    sol += "\\pm \\begin{pmatrix} "+normalkehrwert(-vec[1],lensq(vec))+"\\\\ "+normalkehrwert(vec[0], lensq(vec))+" \\end{pmatrix}$<br>\n";
	}
	jQuery(idex).append(ex);
	jQuery(idsol).append(sol);
    }
}
jQuery = jQuery ? jQuery : $,1
jQuery(function() {generate(jQuery, "#exos","#sol", "2d");});

</JS>
<HTML><div id="exos"></div></HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML><div id="sol"></div></HTML>
</hidden>

=== Donnerstag 1. Juni 2017 ===
Mit Hilfe einer Skizze, und einigen stichwortartigen Sätzen, leiten Sie die Längenformel für die Berechnung der Länge eines Vektors $\vec v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ her.
=== Freitag 2. Juni 2017 ===