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  miniaufgabe.js
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==== 20. Mai 2024 bis 24. Mai 2024 ====
=== Dienstag 21. Mai 2024 ===
Eine Firma produziert ein Produkt $P$. Sie hat damit jährliche Fixkosten in der Höhe $a$. Die Herstellung eines einzelnen Produkts kostet $b$. Ein Produkt soll für den Stückpreis $p$ verkauft werden. Die Nachfrage ist preisabhängig und soll $n(p)$ Stück betragen. Wie soll der Verkaufspreis fixiert werden und wie viele Stück soll die Firma herstellen, um den Gewinn zu maximieren?<JS>miniAufgabe("#exobestreturn","#solbestreturn",
[["$a=500'000$, $b=35$, $n(p)=\\frac{86 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 71.000$, was einem Gewinn von $\\approx 97222.222$ entspricht. $n(p)\\approx 16589.506$."], ["$a=500'000$, $b=42$, $n(p)=\\frac{103 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 85.000$, was einem Gewinn von $\\approx 98837.209$ entspricht. $n(p)\\approx 13926.447$."], ["$a=900'000$, $b=22$, $n(p)=\\frac{102 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 45.000$, was einem Gewinn von $\\approx 208695.652$ entspricht. $n(p)\\approx 48204.159$."], ["$a=800'000$, $b=50$, $n(p)=\\frac{211 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 101.000$, was einem Gewinn von $\\approx 234313.725$ entspricht. $n(p)\\approx 20280.661$."], ["$a=300'000$, $b=54$, $n(p)=\\frac{86 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 109.000$, was einem Gewinn von $\\approx 90909.091$ entspricht. $n(p)\\approx 7107.438$."], ["$a=300'000$, $b=42$, $n(p)=\\frac{75 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 85.000$, was einem Gewinn von $\\approx 136046.512$ entspricht. $n(p)\\approx 10140.617$."], ["$a=500'000$, $b=22$, $n(p)=\\frac{60 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 45.000$, was einem Gewinn von $\\approx 152173.913$ entspricht. $n(p)\\approx 28355.388$."], ["$a=300'000$, $b=45$, $n(p)=\\frac{66 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 91.000$, was einem Gewinn von $\\approx 58695.652$ entspricht. $n(p)\\approx 7797.732$."], ["$a=300'000$, $b=56$, $n(p)=\\frac{73 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 113.000$, was einem Gewinn von $\\approx 20175.439$ entspricht. $n(p)\\approx 5617.113$."], ["$a=500'000$, $b=27$, $n(p)=\\frac{62 \\cdot 10^{6}}{\\left(p+1\\right)^{2}}$", "Der TR liefert eine Extremalstelle bei $p\\approx 55.000$, was einem Gewinn von $\\approx 53571.429$ entspricht. $n(p)\\approx 19770.408$."]],
" <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exobestreturn"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
Der Gewinn berechnet sich aus den Einnahmen $n(p)\cdot p$ minus den Ausgaben $n(p)\cdot b + a$.

Gewinn: $g(p)=n(p)\cdot p-n(p)\cdot b - a$. Davon suchen wir das Maximum.
<HTML>
<div id="solbestreturn"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby optimierungs-aufgaben.rb 2</div>
</HTML>

</hidden>


=== Mittwoch 22. Mai 2024 ===
Zeigen Sie, dass von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt das Quadrat jenes mit minimalem Umfang ist.
<hidden Lösung>
Sei $A$ die konstante Fläche der Rechtecke und $x$ die Seitenlänge eines dieser Rechtecke. Also ist $y=\frac{A}{x}$ die andere Seitenlänge. Damit ist der Umfang $U(x)=2(x+y) = 2\left(x+\frac{A}{x}\right)$. Wir suchen $x$ so, dass $U(x)$ minimal ist. Dazu bestimmen wir die Extremalstellen durch Nullsetzen der Ableitung $U'(x)=0$:

$$\begin{align*}
  U'(x) = 2\left(1-\frac{A}{x^2}\right) & = 0 \\
  1 & = \frac{A}{x^2} && x \neq 0 \\
  x^2 & = A && x>0 \\
  x & = \sqrt{A}
\end{align*}$$
Für $x$ nahe bei Null, sowie für grosse $x$ wird der Umfang beliebig gross. Es muss sich also um das globale Minimum handeln. 

Alternativ könnte man dafür die zweite Ableitung $U''(x) = 2\frac{A}{x^3}$ betrachten, die immer positiv ist (für positive $x$). Damit «macht der Graph immer eine Linkskurve» und wir haben ein echtes Minimum gefunden (und keinen Sattelpunkt).
  
  
Wenn $x=\sqrt{A}$ ist natürlich auch $y=\sqrt{A}$. So das Rechteck mit minimalen Umfang bei gegebener Fläche ein Quadrat.
</hidden>