miniaufgabe.js
==== 31. März 2025 bis 4. April 2025 ====
=== Montag 31. März 2025 ===
Die folgenden Funktionen haben genau zwei Extremalpunkte. Bestimmen Sie diese.miniAufgabe("#exoextrema3tengrades","#solextrema3tengrades",
[["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{1}{2}x^{2}-20x-3$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+x-20$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 1, Produkt -20): $\\left(x+5\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{407}{6}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{161}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-5, \\frac{407}{6}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{161}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{1}{2}x^{2}-12x-2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-x-12$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{41}{2}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{110}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-3, \\frac{41}{2}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{110}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-8x-5$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{13}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{95}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{13}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{95}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{1}{2}x^{2}-20x-4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+x-20$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 1, Produkt -20): $\\left(x+5\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{401}{6}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{164}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-5, \\frac{401}{6}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{164}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{1}{2}x^{2}-12x+5$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-x-12$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{55}{2}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{89}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-3, \\frac{55}{2}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{89}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{3}{2}x^{2}-10x-2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+3x-10$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{263}{6}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{40}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-5, \\frac{263}{6}\\right)$ $E_2 = \\left(2, -\\frac{40}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{3}{2}x^{2}-10x+2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-3x-10$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{40}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{263}{6}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{40}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(5, -\\frac{263}{6}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{1}{2}x^{2}-6x+3$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-x-6$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -6): $\\left(x+2\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{31}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{21}{2}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{31}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(3, -\\frac{21}{2}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-8x-5$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{13}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{95}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{13}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{95}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-8x-3$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -8): $\\left(x+4\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{71}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{37}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-4, \\frac{71}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(2, -\\frac{37}{3}\\right)$ "]],
"
");
ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 1
=== Donnerstag 3. April 2025 ===
Prüfung, keine Miniaufgabe.