miniaufgabe.js ==== 17. März 2025 bis 21. März 2025 ==== === Montag 17. März 2025 === Sei $X \sim \text{Bin}(n,p)$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $n$ und $p$. Geben Sie ein ungefähres 95%-Konfidenzintervall für den Wert von $X$ an.miniAufgabe("#exokonfidenzintervallbinomialverteilung","#solkonfidenzintervallbinomialverteilung", [["$n=648$, $p=\\frac{2}{3}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 648\\cdot \\frac{2}{3} = 432$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{648 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{3}} = \\sqrt{144} = 12$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [408,\\,456]$"], ["$n=150$, $p=\\frac{2}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 150\\cdot \\frac{2}{5} = 60$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{150 \\cdot \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{3}{5}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [48,\\,72]$"], ["$n=162$, $p=\\frac{1}{3}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 162\\cdot \\frac{1}{3} = 54$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{162 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{2}{3}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [42,\\,66]$"], ["$n=490$, $p=\\frac{2}{7}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 490\\cdot \\frac{2}{7} = 140$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{490 \\cdot \\frac{2}{7} \\cdot \\frac{5}{7}} = \\sqrt{100} = 10$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [120,\\,160]$"], ["$n=432$, $p=\\frac{1}{4}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 432\\cdot \\frac{1}{4} = 108$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{432 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{3}{4}} = \\sqrt{81} = 9$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [90,\\,126]$"], ["$n=100$, $p=\\frac{1}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 100\\cdot \\frac{1}{5} = 20$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{100 \\cdot \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{4}{5}} = \\sqrt{16} = 4$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [12,\\,28]$"], ["$n=432$, $p=\\frac{3}{4}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 432\\cdot \\frac{3}{4} = 324$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{432 \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{1}{4}} = \\sqrt{81} = 9$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [306,\\,342]$"], ["$n=150$, $p=\\frac{3}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 150\\cdot \\frac{3}{5} = 90$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{150 \\cdot \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{2}{5}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [78,\\,102]$"], ["$n=147$, $p=\\frac{3}{7}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 147\\cdot \\frac{3}{7} = 63$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{147 \\cdot \\frac{3}{7} \\cdot \\frac{4}{7}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [51,\\,75]$"], ["$n=960$, $p=\\frac{3}{8}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 960\\cdot \\frac{3}{8} = 360$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{960 \\cdot \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{5}{8}} = \\sqrt{225} = 15$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [330,\\,390]$"], ["$n=288$, $p=\\frac{1}{3}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 288\\cdot \\frac{1}{3} = 96$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{288 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{2}{3}} = \\sqrt{64} = 8$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [80,\\,112]$"], ["$n=225$, $p=\\frac{4}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 225\\cdot \\frac{4}{5} = 180$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{225 \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{1}{5}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [168,\\,192]$"], ["$n=288$, $p=\\frac{2}{3}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 288\\cdot \\frac{2}{3} = 192$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{288 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{3}} = \\sqrt{64} = 8$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [176,\\,208]$"], ["$n=147$, $p=\\frac{4}{7}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 147\\cdot \\frac{4}{7} = 84$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{147 \\cdot \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{3}{7}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [72,\\,96]$"], ["$n=405$, $p=\\frac{4}{9}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 405\\cdot \\frac{4}{9} = 180$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{405 \\cdot \\frac{4}{9} \\cdot \\frac{5}{9}} = \\sqrt{100} = 10$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [160,\\,200]$"], ["$n=150$, $p=\\frac{2}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 150\\cdot \\frac{2}{5} = 60$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{150 \\cdot \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{3}{5}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [48,\\,72]$"], ["$n=180$, $p=\\frac{5}{6}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 180\\cdot \\frac{5}{6} = 150$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{180 \\cdot \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{1}{6}} = \\sqrt{25} = 5$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [140,\\,160]$"], ["$n=490$, $p=\\frac{5}{7}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 490\\cdot \\frac{5}{7} = 350$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{490 \\cdot \\frac{5}{7} \\cdot \\frac{2}{7}} = \\sqrt{100} = 10$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [330,\\,370]$"], ["$n=960$, $p=\\frac{5}{8}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 960\\cdot \\frac{5}{8} = 600$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{960 \\cdot \\frac{5}{8} \\cdot \\frac{3}{8}} = \\sqrt{225} = 15$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [570,\\,630]$"], ["$n=405$, $p=\\frac{5}{9}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 405\\cdot \\frac{5}{9} = 225$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{405 \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{4}{9}} = \\sqrt{100} = 10$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [205,\\,245]$"], ["$n=294$, $p=\\frac{6}{7}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 294\\cdot \\frac{6}{7} = 252$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{294 \\cdot \\frac{6}{7} \\cdot \\frac{1}{7}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [240,\\,264]$"], ["$n=192$, $p=\\frac{3}{4}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 192\\cdot \\frac{3}{4} = 144$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{192 \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{1}{4}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [132,\\,156]$"], ["$n=648$, $p=\\frac{2}{3}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 648\\cdot \\frac{2}{3} = 432$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{648 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{3}} = \\sqrt{144} = 12$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [408,\\,456]$"], ["$n=150$, $p=\\frac{3}{5}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 150\\cdot \\frac{3}{5} = 90$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{150 \\cdot \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{2}{5}} = \\sqrt{36} = 6$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [78,\\,102]$"], ["$n=448$, $p=\\frac{7}{8}$", "Erwartungswert: $\\mu = E(X) = np = 448\\cdot \\frac{7}{8} = 392$.
\nStandardabweichung $\\sigma=\\sqrt{\\text{Var}(X)} = \\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{448 \\cdot \\frac{7}{8} \\cdot \\frac{1}{8}} = \\sqrt{49} = 7$
\nUngefähres 95%-Konfidenzintervall: $[\\mu - 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma] = [378,\\,406]$"]], "
", "
");
ruby konfidenzintervall-binomialverteilung.rb 1
 === Donnerstag 20. März 2025 === Aus einer Urne mit $r$ roten, $g$ grünen und $s$ schwarzen Kugeln zieht man nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen. miniAufgabe("#exournen-mit-farben","#solurnen-mit-farben", [["Für $r = 7$, $g = 2$, $s = 3$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 schwarze})$.", "Zwei Fälle: schwarz in der ersten, oder schwarz in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 schwarze}) = \nP(\\text{erst schwarz}) \\cdot P(\\text{dann nicht schwarz}) + \nP(\\text{erst nicht schwarz}) \\cdot P(\\text{dann schwarz}) = \n\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{9}{11} +\n\\frac{3}{4} \\cdot \\frac{3}{11} = \n\\frac{9}{44} + \\frac{9}{44} =\n\\frac{9}{22}$"], ["Für $r = 5$, $g = 3$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{9}+\\frac{3}{10} \\cdot \\frac{2}{9}+\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{2}{9}+\\frac{1}{15}+\\frac{1}{45} = \\frac{14}{45}$."], ["Für $r = 4$, $g = 5$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{4}{11} \\cdot \\frac{7}{10}+\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{3}{5}+\\frac{2}{11} \\cdot \\frac{9}{10} = \\frac{14}{55}+\\frac{3}{11}+\\frac{9}{55} = \\frac{38}{55}$."], ["Für $r = 3$, $g = 5$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 schwarze})$.", "Zwei Fälle: schwarz in der ersten, oder schwarz in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 schwarze}) = \nP(\\text{erst schwarz}) \\cdot P(\\text{dann nicht schwarz}) + \nP(\\text{erst nicht schwarz}) \\cdot P(\\text{dann schwarz}) = \n\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{8}{9} +\n\\frac{4}{5} \\cdot \\frac{2}{9} = \n\\frac{8}{45} + \\frac{8}{45} =\n\\frac{16}{45}$"], ["Für $r = 4$, $g = 2$, $s = 7$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{4}{13} \\cdot \\frac{1}{4}+\\frac{2}{13} \\cdot \\frac{1}{12}+\\frac{7}{13} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{13}+\\frac{1}{78}+\\frac{7}{26} = \\frac{14}{39}$."], ["Für $r = 2$, $g = 4$, $s = 3$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{7}{8}+\\frac{4}{9} \\cdot \\frac{5}{8}+\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{7}{36}+\\frac{5}{18}+\\frac{1}{4} = \\frac{13}{18}$."], ["Für $r = 4$, $g = 3$, $s = 5$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 schwarze})$.", "Zwei Fälle: schwarz in der ersten, oder schwarz in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 schwarze}) = \nP(\\text{erst schwarz}) \\cdot P(\\text{dann nicht schwarz}) + \nP(\\text{erst nicht schwarz}) \\cdot P(\\text{dann schwarz}) = \n\\frac{5}{12} \\cdot \\frac{7}{11} +\n\\frac{7}{12} \\cdot \\frac{5}{11} = \n\\frac{35}{132} + \\frac{35}{132} =\n\\frac{35}{66}$"], ["Für $r = 2$, $g = 3$, $s = 6$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{2}{11} \\cdot \\frac{1}{10}+\\frac{3}{11} \\cdot \\frac{1}{5}+\\frac{6}{11} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{55}+\\frac{3}{55}+\\frac{3}{11} = \\frac{19}{55}$."], ["Für $r = 2$, $g = 5$, $s = 6$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{2}{13} \\cdot \\frac{11}{12}+\\frac{5}{13} \\cdot \\frac{2}{3}+\\frac{6}{13} \\cdot \\frac{7}{12} = \\frac{11}{78}+\\frac{10}{39}+\\frac{7}{26} = \\frac{2}{3}$."], ["Für $r = 6$, $g = 3$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 grüne})$.", "Zwei Fälle: grün in der ersten, oder grün in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 grüne}) = \nP(\\text{erst grün}) \\cdot P(\\text{dann nicht grün}) + \nP(\\text{erst nicht grün}) \\cdot P(\\text{dann grün}) = \n\\frac{3}{11} \\cdot \\frac{4}{5} +\n\\frac{8}{11} \\cdot \\frac{3}{10} = \n\\frac{12}{55} + \\frac{12}{55} =\n\\frac{24}{55}$"], ["Für $r = 2$, $g = 5$, $s = 3$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{9}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{9}+\\frac{3}{10} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{1}{45}+\\frac{2}{9}+\\frac{1}{15} = \\frac{14}{45}$."], ["Für $r = 2$, $g = 3$, $s = 6$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{2}{11} \\cdot \\frac{9}{10}+\\frac{3}{11} \\cdot \\frac{4}{5}+\\frac{6}{11} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{9}{55}+\\frac{12}{55}+\\frac{3}{11} = \\frac{36}{55}$."]], "
", "
");
ruby urnen-model.rb 1