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  miniaufgabe.js
</PRELOAD> 

==== 20. Januar 2025 bis 24. Januar 2025 ====
=== Dienstag 21. Januar 2025 ===
Berechnen Sie mit dem TR den Winkel zwischen den beiden Ebenen.<JS>miniAufgabe("#exowinkelebeneebene","#solwinkelebeneebene",
[["$E_{1}: 1x-2y-6z-2 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: 4x+3y-3z+2 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{16}{|\\sqrt{41}| \\cdot |\\sqrt{34}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.4285\\right) \\approx$ $64.63^\\circ$"], ["$E_{1}: 3x-3y-7z+3 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: 6x-4y+5z-5 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -3 \\\\ -7\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -4 \\\\ 5\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{-5}{|\\sqrt{67}| \\cdot |\\sqrt{77}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(-0.0696\\right) \\approx$ $93.99^\\circ$"], ["$E_{1}: 4x-2y+4z-2 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: 6x-6y+4z-3 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -2 \\\\ 4\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -6 \\\\ 4\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{52}{|\\sqrt{36}| \\cdot |\\sqrt{88}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.9239\\right) \\approx$ $22.50^\\circ$"], ["$E_{1}: -3x+3y+4z+3 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -3x+1y+7z+4 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 3 \\\\ 4\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 1 \\\\ 7\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{40}{|\\sqrt{34}| \\cdot |\\sqrt{59}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.8931\\right) \\approx$ $26.74^\\circ$"], ["$E_{1}: -3x-6y+1z+2 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -4x-6y+3z+3 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -6 \\\\ 1\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -6 \\\\ 3\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{51}{|\\sqrt{46}| \\cdot |\\sqrt{61}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.9628\\right) \\approx$ $15.68^\\circ$"], ["$E_{1}: -1x-6y+5z+4 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -7x-4y+7z+2 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -6 \\\\ 5\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -4 \\\\ 7\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{66}{|\\sqrt{62}| \\cdot |\\sqrt{114}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.7850\\right) \\approx$ $38.27^\\circ$"], ["$E_{1}: -5x+3y-1z-3 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -7x+2y+5z+2 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 3 \\\\ -1\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ 5\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{36}{|\\sqrt{35}| \\cdot |\\sqrt{78}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.6890\\right) \\approx$ $46.45^\\circ$"], ["$E_{1}: 7x-5y-5z-2 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: 1x-5y-7z+4 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ -5 \\\\ -5\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -5 \\\\ -7\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{67}{|\\sqrt{99}| \\cdot |\\sqrt{75}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.7775\\right) \\approx$ $38.96^\\circ$"], ["$E_{1}: -1x+3y+6z+5 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -7x+1y+6z+3 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 1 \\\\ 6\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{46}{|\\sqrt{46}| \\cdot |\\sqrt{86}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.7314\\right) \\approx$ $43.00^\\circ$"], ["$E_{1}: -3x-3y+7z-5 = 0$ $\\qquad$ $E_{2}: -3x+1y+5z+2 = 0$", "Die Normalvektoren der Ebenen sind $\\vec{n_1} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -3 \\\\ 7\\end{pmatrix} $ und $\\vec{n_2} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 1 \\\\ 5\\end{pmatrix} $<br>\n$\\angle(E_1, E_2) = \\angle(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}) =$ $\\arccos\\left(\\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|}\\right) =$ $\\arccos\\left(\\frac{41}{|\\sqrt{67}| \\cdot |\\sqrt{35}|}\\right) \\approx$ $\\arccos\\left(0.8467\\right) \\approx$ $32.15^\\circ$"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exowinkelebeneebene"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solwinkelebeneebene"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby winkel-ebene-ebene-gerade.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Donnerstag 23. Januar 2025 ===
Prüfung verschoben auf 6.2.

Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene<JS>miniAufgabe("#exoebenemitgerade","#solebenemitgerade",
[["die $P=\\left(5,\\,2,\\,3\\right)$ und $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\\\ 5\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -4 \\\\ -1\\end{pmatrix} $ enthält.", "Der Normalvektor der Ebene steht senkrecht zur Geraden $g$ und auch senkrecht auf den Vektor $\\vec{AP}$ (ebenfalls in der Ebene). Damit erhalten wir einen Normalvektor der Ebene:<br>\n$\\vec{n} = \\vec{v} \\times \\vec{AP} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -4 \\\\ -1\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ -2\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 5 \\\\ 4\\end{pmatrix} $<br>\nFür $d$ setzen wir einen Punkt der Ebene ein, z.B. $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 5 \\\\ 4\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix}  = -62$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 8x+5y+4z-62 = 0$"], ["die $P=\\left(-1,\\,3,\\,3\\right)$ und $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 4 \\\\ 1\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 2 \\\\ -1\\end{pmatrix} $ enthält.", "Der Normalvektor der Ebene steht senkrecht zur Geraden $g$ und auch senkrecht auf den Vektor $\\vec{AP}$ (ebenfalls in der Ebene). Damit erhalten wir einen Normalvektor der Ebene:<br>\n$\\vec{n} = \\vec{v} \\times \\vec{AP} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 2 \\\\ -1\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 2\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 10 \\\\ 2\\end{pmatrix} $<br>\nFür $d$ setzen wir einen Punkt der Ebene ein, z.B. $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 10 \\\\ 2\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  = -33$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 3x+10y+2z-33 = 0$"], ["die $P=\\left(6,\\,-2,\\,-3\\right)$ und $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -6 \\\\ 1\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ enthält.", "Der Normalvektor der Ebene steht senkrecht zur Geraden $g$ und auch senkrecht auf den Vektor $\\vec{AP}$ (ebenfalls in der Ebene). Damit erhalten wir einen Normalvektor der Ebene:<br>\n$\\vec{n} = \\vec{v} \\times \\vec{AP} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 11 \\\\ 4 \\\\ -4\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -9 \\\\ 2\\end{pmatrix} $<br>\nFür $d$ setzen wir einen Punkt der Ebene ein, z.B. $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -9 \\\\ 2\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -2 \\\\ -3\\end{pmatrix}  = -36$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 4x-9y+2z-36 = 0$"], ["die $P=\\left(-2,\\,4,\\,-6\\right)$ und $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 4 \\\\ -5\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 1\\end{pmatrix} $ enthält.", "Der Normalvektor der Ebene steht senkrecht zur Geraden $g$ und auch senkrecht auf den Vektor $\\vec{AP}$ (ebenfalls in der Ebene). Damit erhalten wir einen Normalvektor der Ebene:<br>\n$\\vec{n} = \\vec{v} \\times \\vec{AP} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -1 \\\\ 1\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 0 \\\\ -1\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 8 \\\\ 5\\end{pmatrix} $<br>\nFür $d$ setzen wir einen Punkt der Ebene ein, z.B. $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 8 \\\\ 5\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 4 \\\\ -6\\end{pmatrix}  = 0$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 1x+8y+5z+0 = 0$"], ["die $P=\\left(6,\\,6,\\,2\\right)$ und $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 7 \\\\ 5\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ enthält.", "Der Normalvektor der Ebene steht senkrecht zur Geraden $g$ und auch senkrecht auf den Vektor $\\vec{AP}$ (ebenfalls in der Ebene). Damit erhalten wir einen Normalvektor der Ebene:<br>\n$\\vec{n} = \\vec{v} \\times \\vec{AP} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\times \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -1 \\\\ -3\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -6 \\\\ -3\\end{pmatrix} $<br>\nFür $d$ setzen wir einen Punkt der Ebene ein, z.B. $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -6 \\\\ -3\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 6 \\\\ 2\\end{pmatrix}  = 60$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -3x-6y-3z+60 = 0$"], ["die $P=\\left(-5,\\,2,\\,1\\right)$ enthält und rechtwinklig zu $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 1 \\\\ 7\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -6 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ ist.", "Der Richtungsvektor der Gerade ist auch Normalvektor der Ebene.<br>\nFür $d$ setzen wir den Punkt der Ebene ein, nämlich $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -6 \\\\ -2\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 2 \\\\ 1\\end{pmatrix}  = 39$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 5x-6y-2z+39 = 0$"], ["die $P=\\left(-6,\\,6,\\,-4\\right)$ enthält und rechtwinklig zu $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 3 \\\\ 4\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -5 \\\\ 2\\end{pmatrix} $ ist.", "Der Richtungsvektor der Gerade ist auch Normalvektor der Ebene.<br>\nFür $d$ setzen wir den Punkt der Ebene ein, nämlich $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -5 \\\\ 2\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ -4\\end{pmatrix}  = 2$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -6x-5y+2z+2 = 0$"], ["die $P=\\left(-5,\\,4,\\,6\\right)$ enthält und rechtwinklig zu $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 2 \\\\ -4\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 6 \\\\ 6\\end{pmatrix} $ ist.", "Der Richtungsvektor der Gerade ist auch Normalvektor der Ebene.<br>\nFür $d$ setzen wir den Punkt der Ebene ein, nämlich $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 6 \\\\ 6\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 4 \\\\ 6\\end{pmatrix}  = -25$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 7x+6y+6z-25 = 0$"], ["die $P=\\left(5,\\,2,\\,7\\right)$ enthält und rechtwinklig zu $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 4 \\\\ -2\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -6 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ ist.", "Der Richtungsvektor der Gerade ist auch Normalvektor der Ebene.<br>\nFür $d$ setzen wir den Punkt der Ebene ein, nämlich $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -6 \\\\ -2\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 2 \\\\ 7\\end{pmatrix}  = 36$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -2x-6y-2z+36 = 0$"], ["die $P=\\left(-5,\\,-1,\\,7\\right)$ enthält und rechtwinklig zu $\\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 3 \\\\ -7\\end{pmatrix} +t\\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\\\ 4\\end{pmatrix} $ ist.", "Der Richtungsvektor der Gerade ist auch Normalvektor der Ebene.<br>\nFür $d$ setzen wir den Punkt der Ebene ein, nämlich $P$: $d=-\\vec{n} \\cdot \\vec{OP} = - \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\\\ 4\\end{pmatrix}  \\cdot \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -1 \\\\ 7\\end{pmatrix}  = -11$<br>\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 3x+2y+4z-11 = 0$"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
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<div id="exoebenemitgerade"></div>

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<hidden Lösungen>

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<div id="solebenemitgerade"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby punkt-in-ebene.rb 3</div>
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