miniaufgabe.js
==== 13. Januar 2025 bis 17. Januar 2025 ====
=== Dienstag 14. Januar 2025 ===
Bestimmen Sie eine Ebenengeichung für die Ebene durch die drei Punkte $A$, $B$ und $C$.miniAufgabe("#exoebenedurchdreipunkte","#solebenedurchdreipunkte",
[["$A = \\left(1,\\,-4,\\,-6\\right)$, $B = \\left(6,\\,1,\\,1\\right)$, $C = \\left(4,\\,-3,\\,-3\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 5 \\\\ 7\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ 3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 6 \\\\ -10\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 6 \\\\ -10\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -4 \\\\ -6\\end{pmatrix} = -44$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 8x+6y-10z-44 = 0$"], ["$A = \\left(1,\\,-5,\\,-4\\right)$, $B = \\left(-5,\\,-2,\\,-1\\right)$, $C = \\left(-2,\\,-2,\\,-3\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -3 \\\\ -9\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -3 \\\\ -9\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -5 \\\\ -4\\end{pmatrix} = -45$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -6x-3y-9z-45 = 0$"], ["$A = \\left(-7,\\,-4,\\,-7\\right)$, $B = \\left(-6,\\,-6,\\,-5\\right)$, $C = \\left(-4,\\,-7,\\,-3\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ 2\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -3 \\\\ 4\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -4 \\\\ -7\\end{pmatrix} = 15$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -2x+2y+3z+15 = 0$"], ["$A = \\left(1,\\,-5,\\,4\\right)$, $B = \\left(-6,\\,-7,\\,2\\right)$, $C = \\left(-6,\\,-6,\\,1\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -2 \\\\ -2\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -1 \\\\ -3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ -7\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ -7\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -5 \\\\ 4\\end{pmatrix} = -11$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 4x-7y-7z-11 = 0$"], ["$A = \\left(1,\\,-2,\\,-3\\right)$, $B = \\left(-6,\\,4,\\,2\\right)$, $C = \\left(4,\\,-4,\\,-6\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 6 \\\\ 5\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -2 \\\\ -3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ -6 \\\\ -4\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ -6 \\\\ -4\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -3\\end{pmatrix} = -16$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -8x-6y-4z-16 = 0$"], ["$A = \\left(-4,\\,5,\\,7\\right)$, $B = \\left(-3,\\,3,\\,6\\right)$, $C = \\left(-3,\\,-6,\\,4\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -1\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -11 \\\\ -3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 2 \\\\ -9\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 2 \\\\ -9\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 5 \\\\ 7\\end{pmatrix} = 33$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -5x+2y-9z+33 = 0$"], ["$A = \\left(-2,\\,-6,\\,2\\right)$, $B = \\left(7,\\,3,\\,4\\right)$, $C = \\left(4,\\,-1,\\,3\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 9 \\\\ 2\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 5 \\\\ 1\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ -9\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ -9\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -6 \\\\ 2\\end{pmatrix} = 34$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -1x+3y-9z+34 = 0$"], ["$A = \\left(6,\\,-1,\\,-2\\right)$, $B = \\left(2,\\,3,\\,6\\right)$, $C = \\left(7,\\,-3,\\,-5\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 4 \\\\ 8\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ -3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -4 \\\\ 4\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -4 \\\\ 4\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -1 \\\\ -2\\end{pmatrix} = -20$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, 4x-4y+4z-20 = 0$"], ["$A = \\left(-3,\\,3,\\,-2\\right)$, $B = \\left(-4,\\,1,\\,1\\right)$, $C = \\left(-1,\\,6,\\,-5\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -2 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 3 \\\\ -2\\end{pmatrix} = -16$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -3x+3y+1z-16 = 0$"], ["$A = \\left(-5,\\,-2,\\,2\\right)$, $B = \\left(7,\\,3,\\,-4\\right)$, $C = \\left(6,\\,2,\\,-4\\right)$", "Normalenvektor $\\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 12 \\\\ 5 \\\\ -6\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} 11 \\\\ 4 \\\\ -6\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ -7\\end{pmatrix} $
\nEinen Punkt einsetzen: $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ -7\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -2 \\\\ 2\\end{pmatrix} = -4$
\nEbenengleichung: $E:\\,\\, -6x+6y-7z-4 = 0$"]],
"
", "
");
ruby punkt-in-ebene.rb 2
=== Donnerstag 16. Januar 2025 ===
Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Geraden $g$ und die Koordinatengleichung einer Ebene $E$. Bestimmen Sie, ob $g$ in $E$ liegt, $g$ parallel zu $E$ ist (und geben Sie den Abstand an) oder bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $g \cap E$ miniAufgabe("#exolagegeradeebene","#sollagegeradeebene",
[["$E: -1x+2y+3z-3 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -1 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 15 \\\\ -7\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -1 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 15 \\\\ -7\\end{pmatrix} \\right) -3 = 0$.
\nJedes reelle Zahl $t$ ist Lösung. Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$."], ["$E: 2x-2y-2z+10 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -2 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -10 \\\\ 2 \\\\ -12\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -2 \\\\ -2\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -2 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -10 \\\\ 2 \\\\ -12\\end{pmatrix} \\right) +10 = 0$.
\nJedes reelle Zahl $t$ ist Lösung. Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$."], ["$E: 2x-4y+3z-21 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -4 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -12 \\\\ -16\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -4 \\\\ 3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -12 \\\\ -16\\end{pmatrix} \\right) -21 = 0$.
\nJedes reelle Zahl $t$ ist Lösung. Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$."], ["$E: -1x+4y+2z-1 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -18 \\\\ -4 \\\\ 10\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \\\\ -26\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 4 \\\\ 2\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -18 \\\\ -4 \\\\ 10\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \\\\ -26\\end{pmatrix} \\right) -1 = 0$.
\nMan erhält $t = \\frac{1}{3}$. Eingesetzt in $\\vec{g}(t)$ erhält man den Schnittpunkt $S=\\left(-3,\\,1,\\,-3\\right)$."], ["$E: -1x-1y-4z+20 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 16 \\\\ -10 \\\\ -1\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -36 \\\\ 42 \\\\ 12\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ -4\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} 16 \\\\ -10 \\\\ -1\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -36 \\\\ 42 \\\\ 12\\end{pmatrix} \\right) +20 = 0$.
\nMan erhält $t = \\frac{1}{3}$. Eingesetzt in $\\vec{g}(t)$ erhält man den Schnittpunkt $S=\\left(4,\\,4,\\,3\\right)$."], ["$E: -2x+3y-3z-3 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\\\ -1\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -11 \\\\ -13\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -2 \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\\\ -1\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -11 \\\\ -13\\end{pmatrix} \\right) -3 = 0$.
\nJedes reelle Zahl $t$ ist Lösung. Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$."], ["$E: 4x+3y-3z-28 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\\\ -2\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -4 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\\\ -2\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -4 \\\\ -4\\end{pmatrix} \\right) -28 = 0$.
\nJedes reelle Zahl $t$ ist Lösung. Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$."], ["$E: -3x+1y-1z-2 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -7 \\\\ -11\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 18 \\\\ 16\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -3 \\\\ 1 \\\\ -1\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -7 \\\\ -11\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 18 \\\\ 16\\end{pmatrix} \\right) -2 = 0$.
\nMan erhält $t = \\frac{1}{3}$. Eingesetzt in $\\vec{g}(t)$ erhält man den Schnittpunkt $S=\\left(1,\\,2,\\,-3\\right)$."], ["$E: 2x-1y+2z+15 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 5 \\\\ -8\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 4 \\\\ 4\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 2\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 5 \\\\ -8\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 4 \\\\ 4\\end{pmatrix} \\right) +15 = 0$.
\nKeine Lösung für $t$. Die Gerade $g$ ist parallel zu $E$.
\nDer Abstand von $g$ zu $E$ ist gleich für jeden Punkt der Geraden, auch für den Aufpunkt $A = \\left(-6,\\,5,\\,-8\\right)$.
\nAbstandsformel: $\\left| \\frac{\\vec{n} \\cdot \\vec{OA} + d}{|\\vec{n}|} \\right| = \\left| \\frac{-18}{\\sqrt{9}} \\right| = 6 \\cdot \\sqrt{1}$"], ["$E: -1x+4y+4z-19 = 0 \\qquad \\vec{g}(t) = \\begin{pmatrix} -12 \\\\ 13 \\\\ -3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 26 \\\\ -18 \\\\ 8\\end{pmatrix} $", "Gibt es einen Parameter $t$, so dass der entsprechende Punkt auf der Geraden auch in $E$ liegt? Wenn nein, ist die Gerade parallel zu $E$. Gibt es genau ein $t$, schneidet $g$ die Ebene $E$. Gibt unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in $E$.
\nDazu lösen wir die Gleichung $\\vec{n} \\cdot \\vec{g}(t) + d = 0$.
\n$\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 4 \\\\ 4\\end{pmatrix} \\cdot \\left( \\begin{pmatrix} -12 \\\\ 13 \\\\ -3\\end{pmatrix} + t\\cdot \\begin{pmatrix} 26 \\\\ -18 \\\\ 8\\end{pmatrix} \\right) -19 = 0$.
\nMan erhält $t = \\frac{1}{3}$. Eingesetzt in $\\vec{g}(t)$ erhält man den Schnittpunkt $S=\\left(1,\\,4,\\,1\\right)$."]],
"
", "
");
ruby lage-gerade-ebene.rb 1