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  miniaufgabe.js
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==== 6. Januar 2025 bis 10. Januar 2025 ====
=== Dienstag 7. Januar 2025 ===
Berechnen Sie von Hand die Fläche des Dreiecks $ABC$:<JS>miniAufgabe("#exotriangleareabyhand","#soltriangleareabyhand",
[["$A=\\left(-4,\\,-2,\\,-6\\right)$, $\\qquad B=\\left(2,\\,3,\\,-8\\right)$, $\\qquad C=\\left(-10,\\,-6,\\,-3\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 5 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -4 \\\\ 3\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ -6 \\\\ 6\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(7\\right)^2 + \\left(-6\\right)^2 + \\left(6\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{121} = \\frac{11}{2}$"], ["$A=\\left(-2,\\,-6,\\,-6\\right)$, $\\qquad B=\\left(-9,\\,-11,\\,-10\\right)$, $\\qquad C=\\left(-8,\\,-11,\\,-8\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -5 \\\\ -4\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -5 \\\\ -2\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ 10 \\\\ 5\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(-10\\right)^2 + \\left(10\\right)^2 + \\left(5\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{225} = \\frac{15}{2}$"], ["$A=\\left(-3,\\,3,\\,6\\right)$, $\\qquad B=\\left(1,\\,6,\\,7\\right)$, $\\qquad C=\\left(1,\\,10,\\,9\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 7 \\\\ 3\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -8 \\\\ 16\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(2\\right)^2 + \\left(-8\\right)^2 + \\left(16\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{324} = 9$"], ["$A=\\left(-1,\\,-5,\\,-6\\right)$, $\\qquad B=\\left(-4,\\,-7,\\,-8\\right)$, $\\qquad C=\\left(5,\\,1,\\,1\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -2 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 6 \\\\ 7\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 9 \\\\ -6\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(-2\\right)^2 + \\left(9\\right)^2 + \\left(-6\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{121} = \\frac{11}{2}$"], ["$A=\\left(-5,\\,3,\\,1\\right)$, $\\qquad B=\\left(-1,\\,-4,\\,-2\\right)$, $\\qquad C=\\left(-9,\\,6,\\,2\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 3 \\\\ 1\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 8 \\\\ -16\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(2\\right)^2 + \\left(8\\right)^2 + \\left(-16\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{324} = 9$"], ["$A=\\left(7,\\,-1,\\,-2\\right)$, $\\qquad B=\\left(5,\\,1,\\,-3\\right)$, $\\qquad C=\\left(0,\\,5,\\,-6\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 2 \\\\ -1\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 6 \\\\ -4\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -1 \\\\ 2\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(-2\\right)^2 + \\left(-1\\right)^2 + \\left(2\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{9} = \\frac{3}{2}$"], ["$A=\\left(1,\\,4,\\,4\\right)$, $\\qquad B=\\left(-4,\\,6,\\,-2\\right)$, $\\qquad C=\\left(-5,\\,7,\\,-2\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ 2 \\\\ -6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 6 \\\\ -3\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(6\\right)^2 + \\left(6\\right)^2 + \\left(-3\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{81} = \\frac{9}{2}$"], ["$A=\\left(-4,\\,-5,\\,-2\\right)$, $\\qquad B=\\left(-8,\\,-2,\\,-6\\right)$, $\\qquad C=\\left(-8,\\,-4,\\,-8\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 3 \\\\ -4\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 1 \\\\ -6\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -14 \\\\ -8 \\\\ 8\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(-14\\right)^2 + \\left(-8\\right)^2 + \\left(8\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{324} = 9$"], ["$A=\\left(1,\\,-2,\\,-5\\right)$, $\\qquad B=\\left(3,\\,-5,\\,-7\\right)$, $\\qquad C=\\left(3,\\,-6,\\,-9\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -3 \\\\ -2\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \\\\ -4\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ -2\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(4\\right)^2 + \\left(4\\right)^2 + \\left(-2\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{36} = 3$"], ["$A=\\left(-3,\\,6,\\,1\\right)$, $\\qquad B=\\left(1,\\,3,\\,-5\\right)$, $\\qquad C=\\left(0,\\,2,\\,-5\\right)$", "Die Dreiecksfläche ist die Hälfte der Parallelogrammsfläche, aufgespannt durch die Vektoren $\\vec{AB}=\\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $ und $\\vec{AC}=\\vec{OC}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -4 \\\\ -6\\end{pmatrix} $.<br>Die Parallelogrammsfläche entspricht der Länge des Vektorprodukts $\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ -7\\end{pmatrix} $.<br>Dreiecksfläche: $\\frac{1}{2} \\cdot |\\vec{AB} \\times \\vec{AC}| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{\\left(-6\\right)^2 + \\left(6\\right)^2 + \\left(-7\\right)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{121} = \\frac{11}{2}$"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
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<div id="exotriangleareabyhand"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="soltriangleareabyhand"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby kreuzprodukt-von-hand.rb 2</div>
</HTML>

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=== Donnerstag 9. Januar 2025 ===
Gegeben ist eine Ebene $E$ durch ihre Ebenengleichung und zwei Punkte $A$ und $B$. Bestimmen Sie, ob die Punkte in $E$ liegen oder nicht.<JS>miniAufgabe("#exopunktinebene","#solpunktinebene",
[["$E:\\,\\, -1x+2y+5z+38 = 0\\qquad A=\\left(1,\\,-4,\\,-5\\right), \\,\\, B=\\left(-1,\\,-2,\\,-7\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $-1-8-25+38 = -34+38 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n $B$: $+1-4-35+38 = -38+38 = 0$, also in der Ebene.<br>\n"], ["$E:\\,\\, 4x+1y+4z-4 = 0\\qquad A=\\left(-1,\\,4,\\,1\\right), \\,\\, B=\\left(-4,\\,4,\\,-7\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $-4+4+4-4 = +4-4 = 0$, also in der Ebene.<br>\n $B$: $-16+4-28-4 = -40-4 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n"], ["$E:\\,\\, 7x+4y-4z+5 = 0\\qquad A=\\left(1,\\,-2,\\,1\\right), \\,\\, B=\\left(5,\\,-1,\\,4\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+7-8-4+5 = -5+5 = 0$, also in der Ebene.<br>\n $B$: $+35-4-16+5 = +15+5 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n"], ["$E:\\,\\, 6x+1y+7z+30 = 0\\qquad A=\\left(3,\\,-6,\\,7\\right), \\,\\, B=\\left(-6,\\,-1,\\,1\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+18-6+49+30 = +61+30 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n $B$: $-36-1+7+30 = -30+30 = 0$, also in der Ebene.<br>\n"], ["$E:\\,\\, -5x+6y-7z-33 = 0\\qquad A=\\left(-7,\\,-5,\\,-4\\right), \\,\\, B=\\left(7,\\,-6,\\,5\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+35-30+28-33 = +33-33 = 0$, also in der Ebene.<br>\n $B$: $-35-36-35-33 = -106-33 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n"], ["$E:\\,\\, 1x-5y+5z-49 = 0\\qquad A=\\left(7,\\,7,\\,-5\\right), \\,\\, B=\\left(4,\\,-4,\\,5\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+7-35-25-49 = -53-49 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n $B$: $+4+20+25-49 = +49-49 = 0$, also in der Ebene.<br>\n"], ["$E:\\,\\, 7x-1y+6z-41 = 0\\qquad A=\\left(6,\\,-2,\\,-5\\right), \\,\\, B=\\left(1,\\,-4,\\,5\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+42+2-30-41 = +14-41 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n $B$: $+7+4+30-41 = +41-41 = 0$, also in der Ebene.<br>\n"], ["$E:\\,\\, -5x-6y+6z-102 = 0\\qquad A=\\left(-7,\\,-1,\\,-4\\right), \\,\\, B=\\left(-6,\\,-5,\\,7\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $+35+6-24-102 = +17-102 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n $B$: $+30+30+42-102 = +102-102 = 0$, also in der Ebene.<br>\n"], ["$E:\\,\\, -3x+3y+3z-6 = 0\\qquad A=\\left(4,\\,4,\\,2\\right), \\,\\, B=\\left(-6,\\,-6,\\,1\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $-12+12+6-6 = +6-6 = 0$, also in der Ebene.<br>\n $B$: $+18-18+3-6 = +3-6 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n"], ["$E:\\,\\, 5x+5y+1z+37 = 0\\qquad A=\\left(-2,\\,-4,\\,-7\\right), \\,\\, B=\\left(7,\\,4,\\,-3\\right)$", "Koordinaten einsetzen:<br>\n $A$: $-10-20-7+37 = -37+37 = 0$, also in der Ebene.<br>\n $B$: $+35+20-3+37 = +52+37 \\neq 0$, also nicht in der Ebene<br>\n"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
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<div id="exopunktinebene"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

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<div id="solpunktinebene"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby punkt-in-ebene.rb 1</div>
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