lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2022-23:rational [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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~~NOTOC~~

====== Potenzen mit rationalen Exponenten ======

===== Skript =====

{{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:rationale-exponenten-sv.pdf | Schülerversion inklusive Lösungen, pdf}}

{{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:rationale-exponenten-lv.pdf | Lehrerversion inklusive Lösungen, pdf}}

{{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:extrablatt-rationale-exponenten.pdf | Extrablatt mit Lückentexten und -formeln}} und {{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:extrablatt-rationale-exponenten-sol.pdf | Lösungen dazu}}

Skript mit Eintragungen: 
{{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:rationale-exponenten-sv-2rg-stand-2023-03-11.pdf | 2rG, pdf}}
bzw. {{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:rationale-exponenten-sv-2alim-stand-2023-03-11.pdf | 2aLIM, pdf}}

Kommentierte Musterlösung zu Aufgabe 13.23: {{ :lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2022-23:rationale-exponenten-sv-graphen-potenzfunktonen-2rg.pdf |}}

... ein paar [[lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2022-23:rational:fotos|Tafelfotos]]


<hidden Lernziele>
Kurzfassung: Extrablatt und Kapitel 13 des Skripts (ob Wurzelgleichungen 13.2 und Berechnung von Wurzeln 13.3 drankommt, ist noch nicht entschieden); dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Jede und jeder sollte Aufgaben im Stil von Aufgaben 13.6, 13.7, 13.10, 13.12, 13.14, 13.15, 13.22 lösen können.

Wissen: Wie und warum Potenzen mit rationalen Exponenten so definiert, wie sie definiert sind. Wie $n$-te Wurzeln definiert sind.
Potenzgesetze und Wurzelgesetze. Normalform von Quadratwurzeltermen. Potenzfunktionen (inklusive Definitionsbereich). Wie die Graphen von Wurzelfunktionen (Aufgabe 13.2) und Potenzfunktionen (Aufgabe 13.23 und 13.25) aussehen.

Können: Potenzen ausrechnen können und Begründungen wie auf dem Extrablatt geben können (die dort genannten Zweier-, Dreier- und Fünferpotenzen müssen erkannt werden). Potenzgesetze und Wurzelgesetze zum Vereinfachen von Termen anwenden können. Entscheiden können, ob gewisse Formeln gelten: Falsche durch Gegenbeispiel widerlegen können, richtige durch Potenz-/Wurzelgesetze begründen können. Textaufgaben zu Potenzen lösen können (Variablen benennen, Gleichung aufstellen und lösen), vlg. Aufgaben 13.11 und 13.13 a, b. Normalformen von Quadratwurzeltermen ausrechnen können. Graphen von Wurzelfunktionen/Potenzfunktionen skizzieren können und am TR anzeigen lassen können.
</hidden>


==== Mini-Aufgaben ====

[[https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben
|Mini-Aufgaben]] von Ivo Blöchliger im aktuellen Schuljahr.


  * nach Definition 13.3: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw06-2023
  * nach Merke 13.2: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw07-2023
  * Aufgaben wie Aufgabe 13.10 und Primfaktorzerlegung als Vorbereitung auf Abschnitt "13.1 Normalform von Wurzeltermen": https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw08-2023

===== Einleitung =====

Bisher wurden nur Potenzen mit //natürlichen// Exponenten (= der Exponent ist eine natürliche Zahl) wie $a^2$ oder $b^{2023}$ oder etwas allgemeiner Potenzen mit ganzen (= ganzzahligen) Exponenten (= der Exponent ist eine ganze Zahl) wie $x^4$ oder $s^{-5}$ behandelt.

Im Folgenden wirst du lernen, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (= der Exponent ist eine rationale Zahl, also ein Bruch, dessenen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind) wie $a^{\frac 23}$ sinnvoll definiert.
   
Das wichtige Wort im Titel ist also das Adjektiv //rational//!

===== Wiederholungen =====

==== Potenzen mit ganzzahligen (und insbesondere natürlichen) Exponenten ====

An Tafel: 
  * Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten: Spart Schreibarbeit, vgl. $a^{2023}$.
  * Tabelle: 
     * Ein Kästchen nach rechts: Multiplikation mit $a$;
     * Ein Kästchen nach links: Division mit $a$ (= Multiplikation mit $\frac 1a$). 
  * Führt zu sinnvoller Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten (und Exponent Null), falls die Basis nicht Null ist. 
  * Evtl. Tabelle weiter ausfüllen lassen.
  * [[https://de.serlo.org/23767|Serlo: Aufgaben zu ganzzahligen Exponenten]]

==== Potenzgesetze mit natürlichen (und ganzzahligen) Exponenten ====

An Tafel: Potenzgesetze wiederholen (Beispiel, allgemeines Gesetz, Name; in etwa wie https://de.serlo.org/mathe/1867/potenzgesetze).

  * [[https://de.serlo.org/mathe/23665/aufgaben-zu-den-potenzgesetzen|Serlo: Aufgaben zu den Potenzgesetzen (ganzzahlige Exponenten)]]
  * [[https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw04-2023|Mini-Aufgabe: Potenzgesetze für natürliche Exponenten beweisen]] (per Reload werden zufällig drei von fünf(?) Aufgaben ausgeählt)
  * Bonus: Nimm eines der fünf Potenzgesetze und überlege dir, dass es auch gilt, wenn $m$ (oder $n$, falls es vorkommt) negativ ist. 

==== Textaufgabe zur Illustration der Potenzgesetze "im Alltag" ====


<WRAP center round todo>
Empfehlung: Rechne mit Einheiten wie die Physiker. Einheiten darf man wie Variablen behandeln und somit auch die Potenzgesetze auf sie anwenden.

Der Bodensee hat (laut Wikipedia) eine Fläche von 536 km$^2$. Wir nehmen weiter an, dass ein Ölmolekül etwa $4 \cdot 10^{-10}$m$ = 0.4$nm (Nanometer) dick ist.((Hoffentlich stimmt das so ungefähr - im Internet habe ich verschiedene Angaben gefunden.))

  * Wie viel Öl **in Kubikmetern** wird benötigt, um einen Ölteppich auf dem Bodensee auszubringen, der genau ein Ölmolekül dick ist?
  * Welche Menge Öl **in Litern** ist das?
  * Wo hast du welches Potenzgesetz verwendet? (Ich vermute, dass du drei verschiedene Gesetze angewendet hast.)
</WRAP>

<WRAP center round box>
Die obige Aufgabe ist stark idealisiert: Öl bildet auf Wasser im Idealfall eine monomolekulare kreisförmige Schicht (etwa ein Tropfen Öl in einem 50cm x 50cm Wasserbecken), bei grösseren Ölteppichen, wie sie etwa bei Öltankerhavarien entstehen, ist dies aber nicht der Fall.

Die Aufgabe ist eine Variante des Ölfleckexperiments. Wer mag, kann danach im Internet suchen. Gute englische Suchbegriffe sind auch "Franklin", "oil experiment" , "Clapham pond", "Franklin, do molecules exist".
</WRAP>

<hidden Lösung>
Man braucht etwas mehr als eine Badewanne Öl:

{{lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-2:2022-23:loesung-oelteppich-bodensee.jpg?600}}
</hidden>