lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw35-2024 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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==== 26. August 2024 bis 30. August 2024 ====
=== Dienstag 27. August 2024 ===
Vereinfachen Sie:<JS>miniAufgabe("#exorechnen_mit_fakultaeten","#solrechnen_mit_fakultaeten",
[["$\\displaystyle \\frac{1}{n!} - \\frac{1}{(n+1)!}$", "$\\displaystyle \\frac{1}{n!} - \\frac{1}{(n+1)!} = \\frac{n+1}{(n+1)!} - \\frac{1}{(n+1)!} = \\frac{n}{(n+1)!}$ evtl. noch $ = \\frac{1}{(n+1) \\cdot (n-1)!}$"], ["$\\displaystyle \\frac{1}{(n-1)!} - \\frac{n^2}{(n+1)!}$", "$\\displaystyle \\frac{1}{(n-1)!} - \\frac{n^2}{(n+1)!} = \\frac{n(n+1)}{(n+1)!} - \\frac{n^2}{(n+1)!} =  \\frac{n^2+n -n^2}{(n+1)!} = \\frac{n}{(n+1)!}$ evtl. noch $ = \\frac{1}{(n+1) \\cdot (n-1)!}$"], ["$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{(n-1)!} \\cdot \\frac{n!}{(n+2)!}$", "$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{(n-1)!} \\cdot \\frac{n!}{(n+2)!} = \\frac{(n+1)!}{(n+2)!} \\cdot \\frac{n!}{(n-1)!} = \\frac{1}{n+2} \\cdot n = \\frac{n}{n+2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{(n+2) \\cdot (n+1)! \\cdot n!}{n \\cdot (n-1)!}$", "$\\displaystyle \\frac{(n+2) \\cdot (n+1)! \\cdot n!}{n \\cdot (n-1)!} = \\frac{(n+2)! \\cdot n!}{n!} = (n+2)!$"], ["$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{n \\cdot (n-2)!} - n^2$", "$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{n \\cdot (n-2)!} - n^2 = \\frac{(n+1) \\cdot n \\cdot (n-1)}{n} - n^2 = (n+1)(n-1) - n^2 = -1$"], ["$\\displaystyle \\frac{(2n+1)!}{(2n-1)!} - (2n-1)^2$", "$\\displaystyle \\frac{(2n+1)!}{(2n-1)!} - (2n-1)^2 = (2n+1)\\cdot 2n - (4n^2 -4n + 1) = 4n^2+2n - 4n^2 + 4n -1 = 6n-1$"], ["$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{n^2-1}$", "$\\displaystyle \\frac{(n+1)!}{n^2-1} = \\frac{(n+1)\\cdot n!}{(n+1)(n-1)} = \\frac{n!}{n-1}$ evlt. noch $=n \\cdot (n-2)!$"], ["$\\displaystyle (n+1)! - n!$", "$\\displaystyle (n+1)! - n! = (n+1)\\cdot n! - n! = n!\\cdot ((n+1)-1) = n \\cdot n!$"]],
" <hr> ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exorechnen_mit_fakultaeten"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solrechnen_mit_fakultaeten"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby rechnen-mit-fakultaeten.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>


=== Donnerstag 29. August 2024 ===
Erklären und Begründen Sie.
<JS>miniAufgabe("#exobinomialkoeffizientenerklaeren","#solbinomialkoeffizientenerklaeren",
[["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m}+\\binom{n}{m+1} = \\binom{n+1}{m+1}$ ist, für natürliche Zahlen $n\\geq 1$ und $m\\leq n-1$.", "Die rechte Seite ist die Anzahl Möglichkeiten, aus $n+1$ Objekten $m+1$ Objekte auszuwählen (ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen). Für eine solche Auwahl gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder enthält diese Auswahl das \"letzte\" Objekt, wofür noch $m$ aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m}$ Möglichkeiten), oder die Auswahl enthält das \"letzte\" Objekt nicht, wobei also $m+1$ Objekte aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m+1}$ Möglichkeiten)."], ["Erklären Sie, warum $\\displaystyle \\sum_{i=0}^n \\binom{n}{i} = 2^n$ ist.", "$\\binom{n}{i}$ ist die Anzahl Möglichkeiten, $i$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Zählt man alle diese Möglichkeiten zusammen, erhält man die Anzahl Möglichkeiten, eine beliebige Anzahl Objekte aus $n$ auszuwählen. Jedes Objekt kann ausgewählt werden, oder nicht, d.h. zwei Möglichkeiten pro Objekt, total also $2^n$ Möglichkeiten.<br>Alternativ kann man die Anzahl Möglichkeiten von $n$ aufeinanderfolgenden Münzwürfen betrachten. Dafür gibt es total $2^n$ Möglichkeiten (für jeden Wurf gibt es 2 Möglichkeiten, unabhängig von den vorhergehenden Würfen). $\\binom{n}{i}$ zählt die Möglichkeiten, in $n$ Würfen genau $i$ mal Kopf zu werfen. Zählt man alle diese Möglichkeiten für $i$ von 0 bis $n$ zusammen, erhält man wieder alle wie zu Beginn. "], ["Leiten Sie die Berechnungsformel für $\\binom{n}{m}$ her.", "$\\binom{n}{m}$ steht für die Anzahl Möglichkeiten, aus $n$ Objekten $m$ auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Für das erste Objekt kann aus $n$ ausgewählt werden, für das zweite aus $n-1$ usw. Somit gibt es $n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)$ Möglichkeiten, geordnet $m$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, wurden die Kombinationen mehrfach gezählt. Für eine Gruppe aus $m$ Objekten gibt es $m!$ Möglichkeiten, diese anzuordnen ($m$ Möglichkeiten, das erste zu platzieren, $m-1$ Möglichkeiten für das zweite etc.). Es muss also durch die Anzahl Mehrfachzählungen dividiert werden: $\\binom{n}{m} = \\frac{n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)}{m!} = \\frac{n!}{m! \\cdot (n-m)!}$."], ["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m} = \\binom{n}{n-m}$ ist.", "Wenn man $m$ aus $n$ Objekten auswählt, wählt man damit automatisch auch $n-m$ Objekte nicht aus. Damit gibt es gleich viele Möglichkeiten $m$ aus $n$ auszuwählen wie $(m-n)$ aus $n$ auszuwählen."]],
" <hr> ", " <hr> ", 4);
</JS>
<HTML>
<div id="exobinomialkoeffizientenerklaeren"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solbinomialkoeffizientenerklaeren"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby binomialkoeffizienten.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>