lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw23-2024 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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Gegeben ist die Seite $c$ eines Dreiecks $ABC$ und der Umfang $U>2c$.
  * Zeigen Sie, dass von allen möglichen Dreiecken das gleichschenklige Dreieck den grössten Flächeninhalt hat.

//Hinweis: Heron'sche Flächenformel: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ mit $s=\frac{U}{2} = \frac{1}{2}(a+b+c)$.//
<hidden Lösungsvorschlag>
  * Sei die Länge der Seite $a$ unsere Stellgrösse. 
  * Daraus ergibt sich die Länge der Seite $b=U-a-c$
  * Die Fläche ergibt sich aus der Heron'schen Flächenformel:
$$ 
  A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad \text{mit } s=\frac{U}{2} \text{ und } b=U-a-c = 2s-a-c.
$$
Als Funktion von $a$:
$$
A(a) = \sqrt{s(s-a)(s-(2s-a-c))(s-c)} = \sqrt{s(s-a)(a+c-s)(s-c)}
$$
Anstatt von $A(a)$ bestimmen wir das Minimum von $f(a)=(A(a))^2 = s(s-a)(a+c-s)(s-c)$.

Ausmultiplizieren für die Koeffizienten von $a$ (Konstante Faktoren belassen): 

$f(a) = s(s-c) \cdot \left(-a^2 +as-ac+as + s(a+c)\right) = s(s-c) \cdot \left(-a^2 +a\cdot(2s-c) + s(a+c)\right)$.

Diese Funktion ist quadratisch in $a$ mit negativem Öffnungsfaktor, wird also genau 1 Maximum im Scheitelpunkt haben.

Extremalstelle:
\begin{align*}
f'(x) & = 0 \\
s(s-c) \cdot (-2a + 2s-c) & = 0 && |:s(s-c),\quad +2a\\
2s-c & = 2a && | :2 \\
\frac{U-c}{2} & = a
\end{align*}
Damit ist das gleichschenklige Dreieck das flächengrösste.
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