lehrkraefte:blc:math-2021hw:cosinus-und-sinussatz [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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====== Cosinussatz ======
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck $ABC$ mit Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und Seiten $a$, $b$, $c$.

Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke.

===== Ziel =====
Finden Sie eine Formel für $a^2$ aus den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$.

Betrachten Sie erst einmal ein spitzwinkliges Dreieck.
<hidden Hinweis 1>
Drücken Sie $a^2$ mit der Höhe $h_c$ und der Strecke $H_cB$ aus, wobei $H_c$ der Höhenfusspunkt der Höhe $h_c$ ist.
</hidden>
<hidden Hinweis 2>
Drücken Sie $h_c$ und $H_cB$ mit den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$ aus.
</hidden>
<hidden Hinweis 3>
$H_cB$ ist gleich $c - AH_c$.
</hidden>
<hidden Hinweis 4>
$h_c = \sin(\alpha) \cdot b$ und $H_cB = c - \cos(\alpha) \cdot b$
</hidden>
<hidden Hinweis 5>
Ausquadrieren, $b^2$ ausklammern und Klammer vereinfachen.
</hidden>
<hidden Hinweis 6>
$\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 = 1$
</hidden>
<hidden Lösung>
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$
</hidden>

Zeigen Sie, dass die Herleitung immer noch gültig ist, auch wenn $\beta>90^\circ$.


====== Sinussatz ======
Der Sinussatz besagt, dass in einem allgemeinen Dreieck je zwei Seiten im gleichen Verhältnis stehen wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

Berechnen Sie z.B. die Höhe $h_c$ auf zwei verschiedene Arten, in denen je ein Sinus eines unterschiedlichen Winkels vorkommt.

Setzen Sie die beiden Ausdrücke gleich und formen Sie die Gleichung so um, dass das gewünschte Resultat herauskommt.