kurse:ef05a-2021:kurven:beziergeometrisch [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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====== Geometrische Definition von Bézierkurven ======
Eine Bézierkurve $n$-ten Grades ist definiert durch $n+1$ **Kontrollpunkte**. Die einzelnen Punkte auf der Kurve lassen sich durch einen Parameter $t \in [0,1]$ parametrieren.

===== Grad 1 =====
Die Bezierkurve vom Grad 1 mit den Kontrollpunkten $p_0$ und $p_1$ entspricht der Menge aller konvexen Kombinationen der beiden Punkte:

$$
p(t) = (1-t) \cdot p_0 + t \cdot p_1 =: I(t, p_0, p_1)
$$
Die Funktion $I$ interpoliert linear zwischen $p_0$ und $p_1$ für $t \in [0,1]$.

====== Programmierung einer Vektor-Klasse in Python ======
Ziel ist es, komfortabel mit Vektoren arbeiten zu können. Insbesondere benötigen wir 
  * Addition, Subtraktion und 
  * Multiplikation mit einer Zahl.

Aktueller Code: {{kurse:ef05a-2021:kurven:vector-class.zip}}
===== Rekursiver Code =====
Die Berechnung nimmt eine Liste von $n+1$ Punkten entgegen, und berechnet damit $n$ neue Punkte. Wenn $n=1$ ist man fertig, ansonsten reduziert man die Liste in gleicher Weise weiter.

===== Explizite Formel =====
Wir werden die allgemeine Formel formal herleiten.

{{kurse:ef05a-2021:kurven:bezier-explizit.jpg}}

Man kann dies auch direkt rechnerisch algebraisch tun, ist aber ziemlich mühsam. Und TR ist dafür, naja, bedingt zu gebrauchen.


Betrachtung der Polynome, die die einzelnen Punkte multiplizieren.
  * Konvexe Kombination
  * Graphen der Polynome
==== Weitere Herleitungen ====

Mit Hilfe des TRs soll die explizite Formel für den Punkt $P(t)$ auf der kubischen Bezierkurve berechnet werden, die durch die 4 Punkte $a$, $b$, $c$, $d$ definiert wird.

  * Wenn Sie den Ausdruck haben, solle Sie ausmultiplizieren Sie mit ''expand()''.
  * Klammern Sie erst $a$ aus, mit ''factor(ausdruck, a)''. Notieren Sie sich den Faktor

<hidden TR Akrobatik>
<code txt>
(1-t)*a+t*b -> i(t,a,b)
seq(i(t,x[n],x[n+1]),n,1,dim(x)-1) -> r(x)
{a,b,c,d} -> x
r(r(r(x)))[0] -> p
seq(factor(polyCoeffs(factor(expand(p),x[n]),x[n]))[1]), n, 1, 4)))
</code>
</hidden>

==== Mit Maxima ====
<code txt>
x:[a,b,c,d];
i(t,a,b):=(1-t)*a+t*b;
r(l):=makelist(i(t,l[i],l[i+1]), i, 1, length(l)-1);
p:r(r(r(x)))[1];
create_list(factor(coeff(expand(p),v)),v,x);
</code>

===== Ableitungen =====
Gegen ist die kubische Bézier-Kurve $p(t)$ durch die vier Kontrollpunkte $p_0$ bis $p_3$. Wir möchten hier die Ableitungen von $p(t)$ nach $t$ bestimmen und interpretieren.

====== Implementierung einer Bézier-Klasse (kubisch) ======
  * Array von 4 Vektoren
  * $p(t)$
  * $v(t)$
  * Subdivision in zwei Bézier-Kurven.