lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynome-faktorisieren

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision		 Previous revision
lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynome-faktorisieren [2022/03/30 07:57] – [Aufgabe 7, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3] Olaf Schnürerlehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynome-faktorisieren [2022/03/30 08:23] (current) – [Aufgabe 5, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei)] Olaf Schnürer
Line 1: Line 1:
 +~~NOTOC~~
 +
 +====== Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist ======
 +
 +<WRAP center round important 100%>
 +Meist ist es sehr nützlich, wenn man ein Polynom als Produkt von zwei anderen Polynomen schreiben kann. 
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +**Beispiel**
 +
 +Faktorzerlegung/Faktorisierung eines Polynoms:
 +$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$
 +
 +Warum ist dies nützlich?
 +  * **Lösen von Gleichungen:** Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will((Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.)), so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen.
 +  * **Kürzen von Brüchen:** Es gilt
 +
 +$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$
 +((was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann)) oder etwas komplizierter
 +$$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round help 100%>
 +Wie findet man eine Faktorzerlegung eines Polynoms?
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round info 100%>
 +Die folgenden beiden Beobachtungen sind oft (und insbesondere bei Mathe-Aufgaben in der Schule) sehr nützlich:
 +  - Hat ein Polynom nur ganzzahlige Koeffizienten (und am besten zusätzlich Leitkoeffizient 1), so sind die ganzzahligen Teiler des konstanten Koeffizienten oft Nullstellen des Polynoms.
 +  - Hat man eine Nullstelle eines Polynoms gefunden, so ist das Polynom **ohne Rest** teilbar durch 
 +$$x-\text{(diese Nullstelle)}.$$
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +**Beispiel**
 +
 +Das Polynom
 +$$x^2-5x+6$$
 +hat nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1). Wir erklären nun, wie man auf die oben bereits angegebene Faktorzerlegung kommt.
 +
 +Sein konstanter Koeffizient ist 6. Die ganzzahligen Teiler von 6 sind 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -6. (Beachte, dass wir hier positive und negative Teiler betrachten!)
 +
 +Nach der ersten Beobachtung in der Info-Box probieren wir aus, ob darunter eine Nullstelle unseres Polynoms ist ("systematisches Raten einer Nullstelle"):
 +  * Wegen $6^2-5 \cdot 6 + 6 = 36 - 30 + 6 = 12$ ist 6 keine Nullstelle.
 +  * Wegen $3^2-5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 =0$ ist 3 eine Nullstelle (und wir können die weitere Suche abbrechen).
 +
 +Nach der zweiten Beobachtung ist unser Polynom **ohne Rest** durch $x-3$ teilbar! 
 +
 +In der Tat liefert Polynomdivision
 +$$(x^2-5x+6):(x-3) = x-2$$
 +oder umgeschrieben die hoffentlich nützliche Faktorisierung
 +$$x^2-5x+6 = (x-3) \cdot (x-2)$$
 +</WRAP>
 +===== Aufgabe 5, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei) =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:
 +  - $x^2 -3x +2$
 +  - $x^2 -7x +10$
 +  - $x^2 + 3x + 2$
 +
 +Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von
 +  - $x^2+3x$
 +  - $x^2-6x+9$
 +  - $x^2 - 4$
 +  - $x^2 - 2$ 
 +
 +<hidden Experten-Bemerkung:> 
 +Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$.
 +
 +Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen. 
 +
 +Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort "oft".
 +
 +
 +Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet:
 +<WRAP center round box 100%>
 +**Satz (kein Schulstoff)**
 +
 +Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.
 +</WRAP>
 +</hidden>
 +
 +<hidden Lösungen:>
 +  - $(x-1)(x-2)$
 +  - $(x-2)(x-5)$
 +  - $(x+1)(x+2)$
 +
 +  - Ausklammern: $x(x+3)$
 +  - binomische Formel: $(x-3)^2$
 +  - binomische Formel: $(x-2)(x+2)$
 +  - binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$
 +</hidden>
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 6, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades!
 +$$x^3-6x^2+11x-6$$
 +
 +<hidden Hinweis: (bitte ausklappen)>
 +Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an.
 +</hidden>
 +
 +
 +<hidden Lösung:>
 +$(x-1)(x-2)(x-3)$
 +</hidden>
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 7, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades!
 +$$x^3+6x^2-x-30$$
 +<hidden Lösung:>
 +$(x-2)(x+3)(x+5)$
 +</hidden>
 +
 +</WRAP>
 +
 +