lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-1rg

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lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-1rg [2022/03/28 18:39] – [Zusammenfassung] Olaf Schnürerlehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-1rg [2022/04/13 09:14] (current) – [Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast] Olaf Schnürer
Line 1: Line 1:
 +~~NOTOC~~
 +
 +====== Polynom-Division ======
 +
 +===== Erinnerung an schriftliche Division (mit Rest) =====
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +**Lehrervortrag, Tafel oder eTafel**
 +
 +Erinnerung an schriftliche Division am Beispiel (wie oft passt 7 in ...; multiplizere; subtrahiere; wie oft passt 7 in .... usw.)
 +
 +  * $95053 : 7$ 
 +
 +Eine Variante dieses Verfahrens funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst!
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +Warum ist das nützlich?
 +  * Faktorzerlegung und 
 +  * Kürzen von Brüchen
 +
 +Das lernen wir in der nächsten Woche. 
 +
 +**Lernziel** heute ist, das Verfahren "schriftliche Division von Polynomen" zu erlernen.
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 1: Lernen am Beispiel, Schriftliche Division von Polynomen =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +**Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden**
 +
 +Versteht (im Sinne von "Rezept anwenden") gemeinsam das Verfahren "schriftliche Division von Polynomen" mit Hilfe des {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-schrittweise-mit-zusatzseite-subtraktion.pdf | hier verlinkten Beispiels}}.
 +
 +Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen.
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +**Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden**
 +
 +  * Öffne **in einem neuen Tab (neue Registerkarte)** die Web-Seite [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm]] (vermutlich geht das automatisch, sonst ''mouse right-click'' oder ''Ctrl''+''mouse left-click'').
 +
 +  * Vergössere das Fenster links oben etwas (oder scrolle dort nach unten) und setze den Haken bei "Keine Aufgaben mit Rest": {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:settings-polynom-division.png?300|}}
 +
 +  * Klicke auf den Button "Neue Aufgabe".
 +
 +  * Löse solange Aufgaben auf Level 1, bis du 3 Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.
 +<WRAP center round important 80%>
 +Hinweise:
 +  * Zur Eingabe von Potenzen am Computer: Schreibe ''4x^3'' oder ''4*x^3'' für $4x^3$.
 +
 +  * Der Computer hilft dir, die Polynomdivision schrittweise durchzuführen und macht dich dabei **sofort** auf Fehler aufmerksam. Du sollst **nicht** die Division auf einem Blatt Papier durchführen und dann das Ergebnis eingeben. 
 +
 +  * Wie auf der letzten Seite der pdf-Datei oben geschrieben: Bei den Subtraktionen sind alle Terme von oben abzuschreiben, also in etwa so: {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:eingabe-webseite.png?400|}}
 +
 +  * Wer Hilfe benötigt: Frag mich oder nutze die Hinweise im Fenster rechts oben.
 +</WRAP>
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 3: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +**Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden**
 +
 +  * (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:
 +<WRAP left round box 100%>
 +$$(x^2+9x-22):(x-2)$$
 +</WRAP>
 +
 +Bemerkung: Wenn du richtig gerechnet hast, bleibt kein Rest übrig.
 +  * (b) Mache die Probe: Multipliziere dein Ergebnis mit $x-2$.
 +
 +----
 + 
 +  * <nowiki>(c)</nowiki> Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:
 +<WRAP left round box 100%>
 +$$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$
 +</WRAP>
 +  * (d) Zeig mir deine Lösung! - Das erspart dir die Probe und ich sehe, dass du es verstanden hast.
 +  
 +<hidden Zusatzinfo: Du kannst auch online checken, ob du richtig gerechnet hast! (bitte durch Anklicken ausklappen)>
 +Du kannst deine Rechnungen auch auf [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm]] überprüfen: Trage Dividend (= der zu Teilende) und Divisor (= der Teilende) ein und klicke auf den Button "Gleichheitszeichen". Wenn du etwas nach unten scrollst, siehst du die vollständige Polynomdivision.
 +</hidden> 
 +
 +----
 +
 +  * (e) Manchmal bleibt bei der Polynomdivision auch ein Rest übrig! Dividiere schriftlich
 +<WRAP left round box 100%>
 +$$(x^2+9x-22):(x+2)$$
 +</WRAP>
 +
 +$\phantom{x}$
 +
 +<hidden Hier ist die Lösung von (e) versteckt (bitte anklicken)  - alternativ kannst du den Link in der Zusatzinfo oben verwenden>
 +<WRAP left round box 100%>
 +$$(x^2+9x-22):(x+2) = x+7 \qquad \text{ Rest } -36$$
 +oder anders geschrieben:
 +$$x^2+9x-22 = (x+2) \cdot (x+7) -36$$
 +</WRAP>
 +</hidden>
 +
 +----
 +
 +=== Bonus-Aufgabe ===
 +
 +  * (f) Überlege dir anhand deiner Rechnung bei Teilaufgabe <nowiki>(c)</nowiki>, warum das Verfahren "funktioniert"! Erkläre es deinem Nachbarn.
 +</WRAP> 
 +
 +
 +
 +===== Computerunterstütztes Üben (eventuell sinnvoll bei der Prüfungsvorbereitung) =====
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +  * Du kannst neue Aufgaben (mit vorgegebenem Level) über den [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm|Link in Aufgabe 2]] erzeugen und lösen, auch mit höherem Level und mit Rest.
 +  * Deine Ergebnisse kannst du relativ schnell über den [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm|Link in Aufgabe 3]] testen, falls du lieber mit Papier und Bleistift arbeitest (wie in der Prüfung).
 +  * Auf [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm#aufgaben]] kannst du auch direkt eine Liste von Aufgaben mit Lösungen (und Lösungsweg) erzeugen. Das Level ist aber relativ hoch.
 +</WRAP>
 +
 +~~NOTOC~~
 +====== Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist ======
 +
 +===== Verfahren zur Faktorzerlegung; Erklärung am Beispiel =====
 +
 +<WRAP center round info 100%>
 +Betrachte das folgende Polynom, das **nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1)** hat.
 +$$x^2-x\underbrace{-6}_{\text{konstanter Koeffizient}}$$
 +
 +(1) Schreibe alle positiven UND NEGATIVEN Teiler des konstanten Koeffizienten auf:
 +
 +$$1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6$$
 +
 +(2) Suche eine **Nullstelle** unter diesen Zahlen: (Eine Zahl heisst //Nullstelle// eines gegebenen Polynoms, wenn Null herauskommt, wenn wir $x$ durch diese Zahl ersetzen.) 
 +
 +  * Ist 1 eine Nullstelle? Rechnung: $1^2-1-6 = -6 \not= 0$. Also ist 1 keine Nullstelle.
 +  * Ist 2 eine Nullstelle? Rechnung: $2^2-2-6 = -4 \not= 0$. Also ist 2 keine Nullstelle.
 +  * Ist 3 eine Nullstelle? Rechnung: $3^2-3-6=0$. Also ist 3 eine Nullstelle. Wir brechen die Nullstellensuche erfolgreich ab.
 +
 +(3) Dividiere das Ausgangspolynom durch $x-(\text{Nullstelle})$, also in unserem Fall durch $x-3$. Polynomdivision liefert((Sie geht in diesem Fall stets ohne Rest auf, da wir durch $x-(\text{Nullstelle})$ dividieren.))
 +
 +$$(x^2-x-6):(x-3) = x+2$$
 +
 +oder umgeschrieben
 +
 +$$x^2-x-6 = (x-3) \cdot (x+2)$$
 +
 +Dies ist die gesuchte Faktorzerlegung (oder Faktorisierung) unseres Polynoms.
 +
 +Bemerkungen:
 +  * Leicht sieht man, dass auch -2 eine Nullstelle unseres Polynoms ist. Hätten wir diese zuerst gefunden, hätten wir durch $x-(-2)$ dividiert und dieselbe Faktorisierung erhalten.
 +  * Der konstante Koeffizient von $(x-3) \cdot (x+2)$ ist $(-3)\cdot 2=-6$ (denn die drei "anderen Produkte" enthalten $x$ mindestens einmal). Dies erklärt im Rückblick, warum wir die Liste der Teiler des konstanten Koeffizienten betrachtet haben.  
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round info 100%>
 +Dieses Verfahren zur Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten funktioniert oft, aber nicht immer.
 +
 +In unserem Beispiel hatte das Polynom Grad 2 (= die höchste auftretende Potenz von $x$). Das Verfahren geht genauso für Polynome von höherem Grad, nur muss man dann oft sehr viele Teiler darauf testen, ob sie Nullstelle sind. 
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 4, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei) =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:
 +
 +(Auch Raten ist erlaubt!)
 +  - $x^2 -3x +2$
 +  - $x^2 -7x +10$
 +  - $x^2 + 3x + 2$
 +
 +Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von (diese Faktorzerlegungen sind alle "offensichtlich"!)
 +  - $x^2+3x$
 +  - $x^2-6x+9$
 +  - $x^2 - 4$
 +  - $x^2 - 2$ 
 +
 +<hidden Experten-Bemerkung:> 
 +Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$.
 +
 +Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen. 
 +
 +Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort "oft".
 +
 +
 +Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet:
 +<WRAP center round box 100%>
 +**Satz (kein Schulstoff)**
 +
 +Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.
 +</WRAP>
 +
 +</hidden>
 +
 +<hidden Lösungen:>
 +  - $(x-1)(x-2)$
 +  - $(x-2)(x-5)$
 +  - $(x+1)(x+2)$
 +
 +  - Ausklammern: $x(x+3)$
 +  - binomische Formel: $(x-3)^2$
 +  - binomische Formel: $(x-2)(x+2)$
 +  - binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$
 +</hidden>
 +</WRAP>
 +
 +<WRAP center round box 100%>
 +Warum ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms wie beispielsweise
 +
 +$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$
 +
 +nützlich?
 +
 +Antwort: Sie ist hilfreich für das
 +  * **Lösen von Gleichungen:** Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will((Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.)), so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen.
 +  * **Kürzen von Brüchen:** Es gilt
 +
 +$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$
 +((was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann)) oder etwas komplizierter
 +$$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$
 +</WRAP>
 +
 +===== Aufgabe 5, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 =====
 +
 +<WRAP center round todo 100%>
 +Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades!
 +$$x^3-6x^2+11x-6$$
 +
 +<hidden Hinweis: (bitte ausklappen)>
 +Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an.
 +</hidden>
 +
 +<hidden Lösung:>
 +$(x-1)(x-2)(x-3)$
 +</hidden>
 +</WRAP>
 +
 +
 +
 +