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--- lehrkraefte:snr:informatik:glf4-23:waermeleitung [2024/05/01 09:07] – Olaf Schnürer
+++ lehrkraefte:snr:informatik:glf4-23:waermeleitung [2024/05/15 14:52] (current) – [Wärmeleitungsgleichung simulieren] Olaf Schnürer
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+~~NOTOC~~
+Falls numpy etc. auf Schulrechnern nicht verfügbar:
+https://trinket.io/embed/python3/a5bd54189b
+====== Wärmeleitungsgleichung simulieren ======
+Die Mathematik und Formeln für die Iteration sind hier noch nicht dokumentiert (bisher an Tafel erklärt).
+Wärmeleitungsgleichung $u_{t}=\Delta u$.
+===== Numpy und Matplotlib: einige Befehle kennenlernen (und eventuell Bibliotheken installieren) =====
+<hidden Bitte Programm ausklappen>
+<code python beispiel-fuer-die-verwendung-von-numpy-und-matplotlib.py>
+import numpy as np
+from matplotlib import pyplot as plt
+# Zweidimensionale Tabelle (= zweidimensionales Array = zweidimensionale Matrix) mit Nullen als Einträgen erstellen. Beachte:
+# - erster Index Zeilennummer (also y-Koordinate), Indizes 0 bis 4=5-1;
+# - zweiter Index Spaltennummer (also x-Koordinate), Indizes von 0 bis 9=10-1.
+u = np.zeros((5, 10))
+# Setze die Einträge an den Positionen (0, 0) und ((0, 19) auf 80.
+u[0, 0] = 80
+u[0, 9] = 80
+# Setze alle Einträge in der mittleren Zeile (Zeilennummer 2) auf 40.
+for j in range(10):
+    u[2, j] = 40
+# Ausgabe der Matrix
+print(u)
+plt.title(f"Have fun with numpy and matplotlib!")
+plt.xlabel("Spalten (zweite Indizes)")
+plt.ylabel(f"Zeilen (erste Indizes)")
+plt.pcolormesh(u, cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
+plt.colorbar()
+plt.savefig("beispiel.png")
+plt.show()
+</code>
+</hidden>
+===== Wärmeausbreitung (1-dimensional) in einem Stab simulieren =====
+{{:lehrkraefte:snr:informatik:klasse-4:simulationen:stab-ort-zeit-diagramm.png?400|}}
+<hidden Bitte Programm ausklappen>
+<code python waermeleitung-1d-ort-zeit-diagramm-vorlage.py>
+import numpy as np
+from matplotlib import pyplot as plt
+# Länge des Stabes
+n = 100
+iterationen = 400
+# alpha = Temperaturleitfähigkeit, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Temperaturleitf%C3%A4higkeit
+alpha = 1
+delta_x = 1
+# Die folgende Wahl des Zeitschritts  delta_t = Δt sorgt dafür, dass die numerische Simulation stabil läuft (ohne Begründung).
+delta_t = (delta_x ** 2)/(4 * alpha)
+# Die folgende Konstante gamma hängt von delta_t ab und taucht dann in der Simulation auf.
+gamma = (alpha * delta_t) / (delta_x ** 2)
+# Zweidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer, zweite Koordinate Ort.
+u = np.zeros((iterationen + 1, n))
+# Temperaturverteilung am Anfang
+u[0, 1] = 80
+# Aufgabe: Eigene Temperaturverteilung am Anfang definieren!
+# Randwerte: Temperaturen an den Enden des Stabes (vorgegeben für alle Zeiten)
+for i in range(iterationen):
+    u[i, 0] = 0
+    u[i, n - 1] = 0
+# Start der Simulation
+for i in range(1, iterationen + 1):
+    for x in range(1, n - 1):
+        # Aufgabe: Die folgende Zeile so anpassen, dass die Temperaturentwicklung wie in der Aufgabenstellung erläutert verläuft.
+        u[i, x] = u[i - 1, x - 1]
+# print(u)
+# Energie-/Wärme-Erhaltung (abgesehen von konstanten Randwerten)
+# print([sum(z) for z in u])
+plt.title(f"Heatmap eines horizontalen Stabes\n Zeitschritt Δt = {delta_t} pro Iteration")
+plt.xlabel("x")
+plt.ylabel(f"Iterationen")
+plt.pcolormesh(u, cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
+plt.colorbar()
+plt.savefig("stab-ort-zeit-diagramm.png")
+plt.show()
+</code>
+</hidden>
+===== Beispiel zum Erstellen einer animierten gif-Datei (= kleiner Film) =====
+<hidden Bitte Programm ausklappen>
+<code python beispiel-fuer-2d-gif-animation.py>
+import numpy as np
+from matplotlib import pyplot as plt
+from matplotlib import colormaps
+import matplotlib.animation as animation
+from matplotlib.animation import FuncAnimation
+# Grösse des quadratischen Feldes
+n = 30
+# Anzahl der Iterationen
+iterationen = 40
+# Dreidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer (oft = Zeit), zweite Koordinate Zeile, dritte Koordinate Spalte.
+u = np.zeros((iterationen + 1, n, n))
+# Temperaturverteilung am Anfang
+u[0, 5, 9] = 100
+u[0, 5, 10] = 100
+u[0, 5, n - 10] = 100
+u[0, 5, n - 9] = 100
+# Start der Simulation, i für Iterationsnummer, z für Zeilennummer, s für Spaltennummer
+for i in range(1, iterationen + 1):
+    for z in range(1, n - 1):
+        for s in range(1, n - 1):
+            u[i, z, s] = (u[i - 1, z - 1, s - 1] + u[i - 1, z - 1, s + 1]) / 2
+def animiere(i):
+    print(i)
+    plt.clf()
+    plt.title(f"Heatmap, Iteration = {i}")
+    plt.xlabel("s")
+    plt.ylabel("z")
+    plt.pcolormesh(u[i, :, :], cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
+    plt.colorbar()
+    # plt.show()
+anim = animation.FuncAnimation(plt.figure(), animiere, interval=1, frames=iterationen, repeat=False)
+anim.save("ausbreitungsbeispiel.gif")
+</code>
+</hidden>
+===== Wärmeausbreitung 2-dimensional, etwa in einem Zimmer mit beheizten Wänden und offenem Fenster =====
+Zum Spass ist am Anfang noch eine Wärmeblase mitten im Raum...
+{{:lehrkraefte:snr:informatik:klasse-4:simulationen:waermeausbreitung-raum-mit-fenster.gif?400|}}
+<hidden Bitte Programm ausklappen>
+<code python waermeleitung-2d-gif-animation-vorlage.py>
+import numpy as np
+from matplotlib import pyplot as plt
+from matplotlib import colormaps
+import matplotlib.animation as animation
+from matplotlib.animation import FuncAnimation
+# Grösse des quadratischen Feldes
+n = 30
+iterationen = 60
+# alpha = Temperaturleitfähigkeit, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Temperaturleitf%C3%A4higkeit
+alpha = 2
+delta_x = 1
+delta_t = (delta_x ** 2)/(4 * alpha)
+gamma = (alpha * delta_t) / (delta_x ** 2)
+# Dreidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer, zweite Koordinate Zeile, dritte Koordinate Spalte.
+u = np.zeros((iterationen + 1, n, n))
+# Randwerte: Temperaturen am Rand des Quadrates (vorgegeben für alle Zeiten)
+for i in range(iterationen):
+    for s in range(n):
+        u[i, 0, s] = 100
+    # Aufgabe: interessantere Randwerte vereinbaren! Etwa Raum mit offenem Fenster und Heizungen an den Wänden.
+# Anfangswerte
+# Aufgabe: Wer mag, definiert interessante Anfangswerte.
+u[0, n // 2, n // 2] = 100
+# Start der Simulation
+for i in range(1, iterationen + 1):
+    for z in range(1, n - 1):
+        for s in range(1, n - 1):
+            # Aufgabe: Wärmeausbreitungsformel anpassen!
+            u[i, z, s] = u[i - 1, z - 1, s]
+def animiere(i):
+    print(i)
+    plt.clf()
+    plt.title(f"Heatmap, Zeit t = {i * delta_t:.3f}")
+    plt.xlabel("s")
+    plt.ylabel("z")
+    plt.pcolormesh(u[i, :, :], cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
+    plt.colorbar()
+    # plt.show()
+anim = animation.FuncAnimation(plt.figure(), animiere, interval=1, frames=iterationen, repeat=False)
+anim.save("feld.gif")
+</code>
+</hidden>