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--- lehrkraefte:snr:informatik:glf22:python:simulationen:erwartungswerte-mathematisch [2023/01/24 10:21] – Olaf Schnürer
+++ lehrkraefte:snr:informatik:glf22:python:simulationen:erwartungswerte-mathematisch [2023/01/24 14:17] (current) – [Zweite Beobachtung] Olaf Schnürer
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+~~NOTOC~~
+====== Wie lange muss man im Durschnitt würfeln, bis zwei Sechser direkt hintereinander kommen? ======
+Unsere Argumentation beruht auf dem folgenden Diagramm, das wir im Folgenden erklären.
+{{:lehrkraefte:snr:informatik:glf22:python:simulationen:erwartungswert-66-markov-diagramm.jpg?600|}}
+Wir unterscheiden drei Zustände (im Diagramm eingerahmt):
+  * Zustand ''*'': Der letzte Wurf ist keine Sechs. (Dies schliesst den Fall mit ein, dass man gerade anfängt, also noch nicht gewürfelt hat. Dieser Zustand ist also auch der Startzustand.)
+  * Zustand ''*6'': Der letzte Wurf ist eine Sechs, aber der vorletzte Wurf ist keine Sechs.
+  * Zustand ''66'': Die beiden letzten Würfe sind Sechsen. Das ist der Endzustand.
+Während des Würfelns bewegt man sich zwischen diesen Zuständen:
+  * Am Anfang ist man im (Start-)Zustand ''*''.
+  * Wenn man im Zustand ''*'' ist und eine Sechs würfelt, kommt man in den Zustand ''*6'' und sonst in den Zustand ''*''. (Dies ist mit den Pfeilen und den per Bleistift an die Pfeile geschriebenen Zahlen angedeutet.)
+  * Wenn man im Zustand ''*6'' ist und eine Sechs würfelt, kommt man in den Endzustand ''66'' und sonst in den Zustand ''*''. (Dies ist mit den Pfeilen und den per Bleistift an die Pfeile geschriebenen Zahlen angedeutet.)
+Mit Kugelschreiber geschrieben stehen an den Pfeilen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass man sich entlang dieses Pfeils bewegt. Beispiel: Ist man im Zustand ''*6'', so würfelt man mit Wahrscheinlichkeit $\frac 56$ keine Sechs und landet im Zustand ''*''.
+Die rot geschriebenen Variablen $E$ und $F$ haben die folgende Bedeutung:
+  * Die Variable $E$ steht für die Zahl, die wir bestimmen wollen, nämlich die durchschnittliche Anzahl Würfe, um vom Zustand ''*'' (der auch der Startzustand ist) in den Endzustand ''66'' zu kommen.
+  * Die (Hilfs-)Variable $F$ steht für die die durchschnittliche Anzahl Würfe, um vom Zustand ''*6'' in den Endzustand ''66'' zu kommen.
+(Ich habe die Variable jeweils unter den Zustand geschrieben, an dem die entsprechende Reise durch das Diagramm beginnt.)
+Nun gibt es die folgenden zwei Beobachtungen, die zu einem Gleichungssystem führen.
+==== Erste Beobachtung ====
+Ist man im Zustand ''*'', so würfelt man sicherlich **einmal** und gelangt
+  * mit Wahrscheinlichkeit $\frac 16$ in den Zustand ''*6'' (nämlich, wenn man eine Sechs würfelt), von dem aus man noch durchschnittlich $F$ Würfe bis zum Endzustand ''66'' benötigt;
+  * mit Wahrscheinlichkeit $\frac 56$ in den Zustand ''*'' (nämlich, wenn man keine Sechs würfelt), von dem aus man noch durchschnittlich $E$ Würfe bis zum Endzustand ''66'' benötigt.
+Diese Beobachtung zeigt, dass $E$, die durchschnittliche Anzahl Würfe, um vom Zustand ''*'' in den Endzustand ''66'' zu kommen, auch durch den Ausdruck
+$$\frac 16 (1+F) + \frac 56 (1+E)$$
+gegeben ist, denn:
+  * mit Wahrscheinlichkeit $\frac 16$ muss man durchschnittlich noch $(1+F)$-Mal würfeln, bis man im Endzustand ankommt (die 1 kommt vom fett geschriebenen Wort "einmal" oben);
+  * mit Wahscheinlichkeit $\frac 56$ muss man durchschnittlich noch $(1+E)$-Mal würfeln, bis man im Endzustand ankommt.
+Insgesamt muss also die folgende Gleichung gelten:
+$$E=\frac 16 (1+F) + \frac 56 (1+E)$$
+==== Zweite Beobachtung ====
+Ist man im Zustand ''*6'', so würfelt man sicherlich **einmal** und gelangt
+  * mit Wahrscheinlichkeit $\frac 16$ in den Endzustand ''66'' (nämlich, wenn man eine Sechs würfelt);
+  * mit Wahrscheinlichkeit $\frac 56$ in den Zustand ''*'' (nämlich, wenn man keine Sechs würfelt), von dem aus man noch durchschnittlich $E$ Würfe bis zum Endzustand ''66'' benötigt.
+Ähnlich wie oben liefert diese Beobachtung die Gleichung
+$$F=\frac 16 (1+0) + \frac 56 (1+E)$$
+(Die Null ist eigentlich überflüssig, deutet aber das Folgende an: Wenn man im Endzustand ist, braucht man genau (und auch im Durschnitt) 0 Würfe, um in den Endzustand zu kommen.)
+==== Schlussrechnung ====
+Diese beiden Beobachtungen liefern zusammen das lineare Gleichungssystem
+$$E=\frac 16 (1+F) + \frac 56 (1+E)$$
+$$F=\frac 16 (1+0) + \frac 56 (1+E)$$
+Das Lösen dieses Gleichungssystems ist dem Leser überlassen. (Multiplizere zuerst beide Gleichungen mit $6$.)
+<hidden Die Lösung des Gleichungssystems ist>
+$E=42$ und $F=36$.
+</hidden>
+<hidden Also ist die gesuchte Zahl>
+$42$
+</hidden>
+==== Aufgaben ====
+Falls du testen willst, wie gut du das Obige verstanden hast.
+<WRAP center round todo>
+Wie lange muss man im Durschnitt würfeln, bis zuerst eine 6 und direkt danach eine 5 kommt?
+<hidden Hinweis>
+Im Diagramm oben muss nur ein Pfeil verändert werden (und die Beschriftung aller Zustände).
+</hidden>
+</WRAP>
+<WRAP center round todo>
+Wie lange muss man im Durchschnitt würfeln, bis eine 6 erscheint?
+</WRAP>
+<WRAP center round todo>
+Beantworte eine ähnliche, selbstgestellte Frage! Etwa eine mit Münzwürfen.
+</WRAP>
+===== Mathematischer Kontext =====
+<WRAP center round info>
+Die obigen Erklärungen gehören zum Teilgebiet **Wahrscheinlichkeitstheorie** der Mathematik.
+Die durchschnittliche Anzahl der Würfe, bis zwei Sechser direkt hintereinander kommen, heisst **Erwartungswert** für dieses Ereignis. Deswegen habe ich oben den Buchstaben "E" verwendet.
+Allgemein beantwortet ein Erwartungswert die Frage, wie lange man durschnittlich //warten// muss, bis ein bestimmtes Ereignis eintritt.
+Das Diagramm, das wir oben verwendet haben, hat mit Markow-Ketten zu tun.
+(Wohl deutlich über Schulniveau: https://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Kette; das Wetterbeispiel dort ähnelt unserem Beispiel und könnte verständlich sein.)
+</WRAP>