Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- lehrkraefte:snr:altes-material:polynomdivision-ausgelagertes [2022/03/23 10:20] – Olaf Schnürer
+++ lehrkraefte:snr:altes-material:polynomdivision-ausgelagertes [2022/03/23 10:20] (current) – Olaf Schnürer
@@ Line 1: / Line 1: @@
+====== Polynomdivison, ausgelagertes wegen Videolektion ======
+===== Aufgabe 4: Wieder online, nun Divisionen mit Rest =====
+<WRAP center round todo 100%>
+**Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden**
+  * Geh wieder auf die Web-Seite [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm]]
+  * Stelle den Level mindestens auf 3 und entferne (falls nötig) den Haken bei "Keine Aufgaben mit Rest". Lerne dabei auch, wie man eine Lösung mit Rest aufscheibt.
+  * Löse solange Aufgaben, bis du drei Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.
+<WRAP center round box 60%>
+Bemerkung: Ab diesem Level wird manchmal auch durch Polynome vom Grad 2 wie $2x^2-2x-1$ dividiert.
+Achtung: Wenn du zu oft auf "Neue Aufgabe" drückst ohne Lösungen einzugeben, sinkt der Level.
+</WRAP>
+<hidden Challenge / Bonusaufgabe für die Schnellen: (Ausklappen durch Anklicken)>
+Auf welchem möglichst hohen Level schaffst du eine Aufgabe fehlerfrei? Ich schreibe gerne eine Bestenliste an die Tafel! (Meine Testaufgabe auf Level 9 war gar relativ einfach.)
+</hidden>
+</WRAP>
+===== Aufgabe 5: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung =====
+<WRAP center round todo 100%>
+  * (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:
+<WRAP left round box 100%>
+$$(x^5+2x^4+4x^3+3x^2+9x+8):(x^2+2x+3)$$
+</WRAP>
+  * (b) Überprüfe dein Ergebnis per [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm]]. Wenn du etwas nach unten scrollst, siehst du die vollständige Polynomdivision. Ausserdem siehst du noch einmal, wie ein eventueller Rest anzugeben ist.
+</WRAP>
+===== Aufgabe 4 (falls die Zeit reicht): Achtung bei "fehlenden Termen" =====
+<WRAP center round todo 100%>
+**Vermutlich Demonstration der ersten Teilaufgabe an der Tafel, danach Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden**
+Berechne
+  * (a) $\qquad(x^4-1) : (x-1)$
+  * (b) $\qquad(x^5+1) : (x+1)$
+  * <nowiki> (c) </nowiki> $\qquad(x^5+4x^3+x^2+3x+3):(x^2+3)$
+Prüfe deine Ergebnisse durch eine Probe oder online.
+<hidden Hinweis: (bitte ausklappen durch Anklicken)>
+Wenn du naiv schriflicht losdividierts, bekommst du Platzprobleme.
+Damit du "genug Platz hast": Schreibe in der ersten Teilaufgabe den Dividenden $x^4-1$ als
+$$\boxed{x^4+0x^3+0x^2+0x-1} \qquad\text{ oder mit Abständen (für die fehlenden Terme) als }\qquad \boxed{x^4\phantom{+0x^3+0x^2+0x}-1}$$
+Analog in der zweiten Teilaufgabe.
+In der letzten Teilaufgabe darfst du neben dem Dividenden auch den Divisor $x^2+3$ entsprechend expandieren. Zwingend notwendig ist das nicht, aber vielleicht hilft es.
+</hidden>
+</WRAP>
+====== Nächste Lektion: Anwendungen: Nullstellen systematisch raten, Faktorzerlegung von Polynomen, Polynombrüche vereinfachen ======
+IM ENTSTEHEN, BITTE NOCH NICHT ANSCHAUEN!
+Erinnerung Primfaktorzerlegung.
+Ähnlich kann man Polynome in Faktoren zerlegen (ist aber im Allgemeinen ziemlich kompliziert).
+Wir lernen ein Verfahren kennen, das oft funktioniert!
+[[https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials]]
+===== Nullstellen systematisch raten =====
+<WRAP center round info 100%>
+Ähnlich wie bei der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen kann man Polynomen in Faktoren zerlegen, z. B. gilt:
+<WRAP center round box 100%>
+$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$
+$$x^3-10x^2+31x-30= (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-5)$$
+$$x^2-8x+15 = (x-3) \cdot (x-5)$$
+$$x^2+2x-15 = (x-3) \cdot (x+5)$$
+</WRAP>
+Es stellt sich aber die Frage: Wenn nur das Polynom auf der linken Seite gegeben ist, wie findet man eine solche Faktorzerlegung?
+Wir erklären eine Strategie, die oft (und insbesondere bei Aufgaben in der Schule) zum Erfolg führt.
+</WRAP>
+<WRAP center round tip 100%>
+Informationen für Experten:
+  * Das Polynom $X^2+1$ lässt sich nicht weiter in Faktoren zerlegen. (So etwas wie $X^2+1 = \frac 12 \cdot (2x^2+2)$ ist langweilig und "gilt nicht".)
+  * Die oben erklärte Strategie führt nicht immer zum Erfolg: Beispielsweise ist $X^2-2 = (x-\sqrt{2})\cdot (x+\sqrt{2})$ eine sinnvolle Faktorisierung, aber $\pm \sqrt{2}$ ist kein ganzzahliger Teiler von $-2$.
+Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet (kein Schulstoff):
+<WRAP center round box 100%>
+**Satz**
+Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.
+</WRAP>
+</WRAP>