lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw22-2017

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 +==== 29. Mai 2017 bis 2. Juni 2017 ====
 +=== Dienstag 30. Mai 2017 ===
 +**Achtung, dynamische Aufgabe**. //Hinweis: Steht bei einem Wurzelterm die Wurzel im Nenner, wird mit dieser Wurzel erweitert (unten und oben multipliziert), um den Nenner wurzelfrei zu schreiben.//
  
 +<JS>
 +
 +function generate(jQuery, idex, idsol, what) {
 +
 +    what = (typeof what !== 'undefined') ?  what : "3d";
 +    
 +    var randi = function(m) {
 + return Math.floor(Math.random()*m);
 +    };
 +
 +    var dispVec = function(a) {
 + return "\\begin{pmatrix}"+a[0]+"\\\\ "+a[1]+"\\\\ "+a[2]+" \\end{pmatrix}";
 +    };
 +    var dispPoint = function(a) {
 + return "\\left("+a[0]+", "+a[1]+", "+a[2]+" \\right)";
 +    };
 +    var vecDiff = function(a,b) {
 + return [a[0]-b[0], a[1]-b[1], a[2]-b[2]];
 +    };
 +    var vecSum = function(a,b) {
 + return [a[0]+b[0], a[1]+b[1], a[2]+b[2]];
 +    };
 +    var lensq = function(a) {
 + return a[0]*a[0]+a[1]*a[1]+a[2]*a[2];
 +    };
 +    var quadrFactor = function(w) {
 + var f = 1;
 + for (var i=2; i*i<=w; i++) {
 +     while (w % (i*i) == 0) {
 + w/=i*i;
 + f*=i;
 +     }
 + }
 + return f;
 +    }
 +    
 +    var normalform = function(w, full) {
 + full = (typeof full !== 'undefined') ?  full : true;
 + var r="";
 + if (full) {
 +     r = "\\sqrt{"+w+"}";
 + }
 + var f = quadrFactor(w);
 + w = w/(f*f);
 + if (f!=1) {
 +     if (w!=1) {
 + r+=(full ? "=" : "")+f+"\\sqrt{"+w+"}";
 +     } else {
 + r+=(full ? "=" : "")+f;
 +     }
 + }
 + if (r=="") {
 +     r = "\\sqrt{"+w+"}";
 + }
 + return r;
 +    };
 +
 +    var ggt = function(a,b) {
 + if (b==0) return a;
 + return ggt(b, a % b);
 +    }
 +
 +    var normalkehrwert = function(mul, w) {
 + //console.log("mul="+mul+" w="+w);
 + var f = quadrFactor(w);
 + w = w/(f*f);
 + var g = ggt(Math.abs(mul),f*w);
 + var z = mul/g;
 + var n = f*w/g;
 + //console.log("f="+f+"  z="+z+" n="+n);
 + var r = (z<0) ? "-" : "";
 + z = Math.abs(z);
 + if (n==1) {
 +     r+=z;
 + } else {
 +     r+="\\frac{"+z+"}{"+n+"}";
 + }
 + if (w!=1) {
 +     r+="\\cdot \\sqrt{"+w+"}"
 + }
 + return r;
 +
 +    }
 +
 +    var nicePoints = function(maxComp) {
 + var vecs;
 + var pts;
 + for (var k=0; k<2000; k++) {
 +     vecs = [];
 +     for (var i=0; i<2; i++) {
 + vecs[i]=[];
 + for (var j=0; j<3; j++) {
 +     vecs[i].push((randi(maxComp)+1));
 + }
 + if (i==0) {
 +     vecs[i][0] = -vecs[i][0];
 + } else {
 +     vecs[i][1] = -vecs[i][1];
 +     vecs[i][2] = -vecs[i][2];
 + }
 +     }
 +     var pts = [[randi(maxComp)+1, -randi(maxComp)-1, randi(maxComp)+1]];
 +     pts.push(vecSum(pts[0],vecs[0]));
 +     pts.push(vecSum(pts[1],vecs[1]));
 +     var v3 = vecSum(vecs[0], vecs[1]);
 +     if (quadrFactor(lensq(vecs[0]))>1 &&
 + quadrFactor(lensq(vecs[1]))>1 &&
 + quadrFactor(lensq(v3))>1 &&
 + v3[0]*v3[1]*v3[2]!=0 &&
 + quadrFactor(lensq(vecs[0]))*quadrFactor(lensq(vecs[0]))!=lensq(vecs[0]) &&
 + quadrFactor(lensq(vecs[1]))*quadrFactor(lensq(vecs[1]))!=lensq(vecs[1]) &&
 + quadrFactor(lensq(v3))*quadrFactor(lensq(v3))!=lensq(v3)) {
 +
 + return pts;
 +     }
 + }
 + console.log("Sorry...");
 + return pts;
 +    };
 +
 +    var nice2dvec = function(maxComp) {
 + var vec;
 + for (var k=0; k<2000; k++) {
 +     vec = [];
 +     for (var j=0; j<2; j++) {
 + vec.push((randi(maxComp)+1));
 + if (Math.random()<0.5) {
 +     vec[j]=-vec[j];
 + }
 +     }
 +     vec.push(0);
 +     
 +     if (quadrFactor(lensq(vec))>1 && 
 + quadrFactor(lensq(vec))*quadrFactor(lensq(vec))!=lensq(vec)) {
 + return vec;
 +     }
 + }
 + console.log("Sorry...");
 + return vec;
 +    }
 +
 +    if (what=="3d") {
 +    
 + var vecs=nicePoints(7);
 +
 + var pnames = ["A","B", "C"];
 + var ex = "Gegeben sind drei Punkte: ";
 + for (var i=0; i<3; i++) {
 +     ex+="$"+pnames[i]+"="+dispPoint(vecs[i])+"$"+(i==2 ? "." : ", ");
 + }
 + ex += "<br>Berechnen Sie die Komponenten und die Länge (Wurzeln in Normalform) von<br>\
 +1. $\\vec{AB}$<br>\
 +2. $\\vec{AC}$<br>\
 +3. $\\vec{BC}$";
 + jQuery(idex).append(ex);
 + var sol = ""
 + var n = 1;
 + for (var i=0; i<2; i++) {
 +     for (var j=i+1; j<3; j++) {
 + var diff = vecDiff(vecs[j],vecs[i])
 + sol+=n+". $"+dispVec(diff)+"$";
 + sol+=", Länge $"+normalform(lensq(diff))+"$<br>";
 + n++;
 +     }
 + }
 + jQuery(idsol).append(sol);
 +    } else {
 + var sol = "";
 + var ex = "Bestimmen Sie einen Vektor $\\vec u$ mit Länge 1, der rechtwinklig auf den Vektor $\\vec v$ steht. Geben Sie die Komponenten von $\\vec u$ mit Wurzeln in Normalform an.<br><br>\n";
 + for (var i=1; i<=3; i++) {
 +     var vec = nice2dvec(9);
 +     ex+=""+i+". &nbsp; $\\vec v = \\begin{pmatrix} "+vec[0]+"\\\\ "+vec[1]+" \\end{pmatrix}$ <br>\n";
 +     sol += ""+i+". &nbsp; $|\\vec v| = "+normalform(lensq(vec))+"$. ";
 +     sol += "Damit ist der gesuchte Vektor $\\vec u = \\pm \\frac{1}{"+normalform(lensq(vec),false)+"} \\cdot \\begin{pmatrix} "+(-vec[1])+"\\\\ "+vec[0]+" \\end{pmatrix} = ";
 +     sol += "\\pm \\begin{pmatrix} "+normalkehrwert(-vec[1],lensq(vec))+"\\\\ "+normalkehrwert(vec[0], lensq(vec))+" \\end{pmatrix}$<br>\n";
 + }
 + jQuery(idex).append(ex);
 + jQuery(idsol).append(sol);
 +    }
 +}
 +jQuery = jQuery ? jQuery : $,1
 +jQuery(function() {generate(jQuery, "#exos","#sol", "2d");});
 +
 +</JS>
 +<HTML><div id="exos"></div></HTML>
 +<hidden Lösungen>
 +<HTML><div id="sol"></div></HTML>
 +</hidden>
 +
 +=== Donnerstag 1. Juni 2017 ===
 +Mit Hilfe einer Skizze, und einigen stichwortartigen Sätzen, leiten Sie die Längenformel für die Berechnung der Länge eines Vektors $\vec v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ her.
 +=== Freitag 2. Juni 2017 ===