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| lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw21-2023 [2023/05/18 15:42] – created Ivo Blöchliger | lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw21-2023 [2023/06/05 12:29] (current) – Ivo Blöchliger |
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| | ==== 22. Mai 2023 bis 26. Mai 2023 ==== |
| | === Montag 22. Mai 2023 === |
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| | Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)$ und die Gleichung einer Geraden $g$ mit unbekanntem $y$-Achsenabschnitt. Bestimmen Sie diesen so, dass die Gerade eine Tangente an die Parabel definiert durch $f$ ist.<JS>miniAufgabe("#exotangenten_an_parabeln1","#soltangenten_an_parabeln1", |
| | [["$f(x)=-x^{2}+4x-5$, $\\qquad g(x)=2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+4x-5 & = 2x+q&& | -(2x+q)\\\\\n-x^{2}+4x-5-\\left(2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+4x-5-2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+2x-5 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 2+-q-5 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-5\\right) = 4+4\\left(-q-5\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-5\\right) = 4-4q-20 = -4q-16 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--16}{-4} = -4$."], ["$f(x)=-x^{2}-4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}-4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-2x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-2\\right)+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 4-4q-24 = -4q-20 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--20}{-4} = -5$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+2$, $\\qquad g(x)=5x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+2 & = 5x+q&& | -(5x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+2-\\left(5x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+2-5x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-7x+2 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-7\\right)+-q+2 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-7\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+2\\right) = 49+4\\left(-q+2\\right) = 49+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 2 = 49-4q+8 = -4q+57 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-57}{-4} = \\frac{57}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}-4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-2x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-2\\right)+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 4-4q-24 = -4q-20 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--20}{-4} = -5$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x-3$, $\\qquad g(x)=3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x-3 & = 3x+q&& | -(3x+q)\\\\\n-x^{2}-2x-3-\\left(3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x-3-3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-5x-3 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-5\\right)+-q-3 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-5\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-3\\right) = 25+4\\left(-q-3\\right) = 25+4\\left(-q\\right)+4\\left(-3\\right) = 25-4q-12 = -4q+13 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-13}{-4} = \\frac{13}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}+2x-4$, $\\qquad g(x)=3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+2x-4 & = 3x+q&& | -(3x+q)\\\\\n-x^{2}+2x-4-\\left(3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+2x-4-3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-x-4 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-1\\right)+-q-4 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-4\\right) = 1+4\\left(-q-4\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4\\left(-4\\right) = 1-4q-16 = -4q-15 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--15}{-4} = -\\frac{15}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}+4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}+4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+6x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 6+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(6\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 36+4\\left(-q-6\\right) = 36+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 36-4q-24 = -4q+12 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-12}{-4} = 3$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+1$, $\\qquad g(x)=-3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+1 & = -3x+q&& | -(-3x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+1-\\left(-3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+1+3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+x+1 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 1+-q+1 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+1\\right) = 1+4\\left(-q+1\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 1 = 1-4q+4 = -4q+5 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-5}{-4} = \\frac{5}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x-3$, $\\qquad g(x)=-x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x-3 & = -x+q&& | -(-x+q)\\\\\n-x^{2}-2x-3-\\left(-x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x-3+x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-x-3 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-1\\right)+-q-3 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-3\\right) = 1+4\\left(-q-3\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4\\left(-3\\right) = 1-4q-12 = -4q-11 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--11}{-4} = -\\frac{11}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+1$, $\\qquad g(x)=-4x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+1 & = -4x+q&& | -(-4x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+1-\\left(-4x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+1+4x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+2x+1 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 2+-q+1 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+1\\right) = 4+4\\left(-q+1\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 1 = 4-4q+4 = -4q+8 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-8}{-4} = 2$."]], |
| | " <hr> ", " <hr> "); |
| | </JS> |
| | <HTML> |
| | <div id="exotangenten_an_parabeln1"></div> |
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| | </HTML> |
| | <hidden Lösungen> |
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| | <HTML> |
| | <div id="soltangenten_an_parabeln1"></div> |
| | <div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby parabeln-tangenten.rb 1</div> |
| | </HTML> |
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| | </hidden> |
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| | === Dienstag 23. Mai 2023 === |
| | Bestimmen Sie die Funktionsgleichung folgender Funktionen:<JS>miniAufgabe("#exofunktionsgraphenablesen5","#solfunktionsgraphenablesen5", |
| | [["<span class='autofunc' id='autofunc_funktionsgraphenablesen50' data='{\"title\":\"\",\"target\":\"#autofunc_funktionsgraphenablesen50\",\"width\":260,\"height\":240,\"disableZoom\":true,\"skipTip\":true,\"grid\":true,\"xAxis\":{\"domain\":[-4.5,0.5]},\"yAxis\":{\"domain\":[-2.5,2.5]},\"data\":[{\"fn\":\"(x-(-2))*(x-(-2))+-2\"}]}'></span>", "Verschiebung um $(-2,-2)$ der Normalparabel, also $f(x) = \\left(x+2\\right)^{2}-2$."], ["<span class='autofunc' id='autofunc_funktionsgraphenablesen51' data='{\"title\":\"\",\"target\":\"#autofunc_funktionsgraphenablesen51\",\"width\":260,\"height\":240,\"disableZoom\":true,\"skipTip\":true,\"grid\":true,\"xAxis\":{\"domain\":[-4.5,0.5]},\"yAxis\":{\"domain\":[-1.5,3.5]},\"data\":[{\"fn\":\"(x-(-2))*(x-(-2))+-1\"}]}'></span>", "Verschiebung um $(-2,-1)$ der Normalparabel, also $f(x) = \\left(x+2\\right)^{2}-1$."], ["<span class='autofunc' id='autofunc_funktionsgraphenablesen52' data='{\"title\":\"\",\"target\":\"#autofunc_funktionsgraphenablesen52\",\"width\":260,\"height\":240,\"disableZoom\":true,\"skipTip\":true,\"grid\":true,\"xAxis\":{\"domain\":[-4.5,0.5]},\"yAxis\":{\"domain\":[0.5,5.5]},\"data\":[{\"fn\":\"(x-(-2))*(x-(-2))+1\"}]}'></span>", "Verschiebung um $(-2,1)$ der Normalparabel, also $f(x) = \\left(x+2\\right)^{2}+1$."], ["<span class='autofunc' id='autofunc_funktionsgraphenablesen53' data='{\"title\":\"\",\"target\":\"#autofunc_funktionsgraphenablesen53\",\"width\":260,\"height\":240,\"disableZoom\":true,\"skipTip\":true,\"grid\":true,\"xAxis\":{\"domain\":[-4.5,0.5]},\"yAxis\":{\"domain\":[1.5,6.5]},\"data\":[{\"fn\":\"(x-(-2))*(x-(-2))+2\"}]}'></span>", "Verschiebung um $(-2,2)$ der Normalparabel, also $f(x) = \\left(x+2\\right)^{2}+2$."], ["<span class='autofunc' id='autofunc_funktionsgraphenablesen54' data='{\"title\":\"\",\"target\":\"#autofunc_funktionsgraphenablesen54\",\"width\":260,\"height\":240,\"disableZoom\":true,\"skipTip\":true,\"grid\":true,\"xAxis\": |