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--- lehrkraefte:blc:math-2021hw:pi-wuerfeln-mit-python [2024/10/30 08:18] – Ivo Blöchliger
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+====== $\pi$ würfeln ======
+Idee: Man wählt wiederholt zufällig einen Punkt $P$ im Einheitsquadrat (achsenparalleles Quadrat mit Ecken $(0,0)$ und $(1,1)$).
+Man zählt, wie oft der Punkt im Einheitskreis liegt. Der erwartete Anteil entspricht dem Flächenverhältnis zwischen Viertelkreis und Quadrat, also $\frac{\pi}{4}$.
+WebTigerPython: https://webtigerpython.ethz.ch/
+===== Ein Punkt =====
+<code python>
+from random import random
+def punkt():
+    x = random()
+    y = random()
+    if ........   # Punkt im Kreis?
+        return 1  # Resultat ist 1
+    return 0      # Resultat ist 0
+# Test-Code
+for i in range(20):
+    print(f"Test {i}: {punkt()}")
+</code>
+===== $n$ Punkte =====
+<code python>
+def experiment(n):
+    summe = 0
+    for i in range(n):
+        summe += punkt()
+    # Mittelwert
+    xbar = summe/n
+    # Standardabweichung
+    s = (1/(n-1)*(summe*(1-xbar)**2 + (n-summe)*xbar**2))**0.5
+    return [xbar, s]
+# Test-Code
+print(experiment(1000))
+</code>
+===== 95% Vertrauensintervall =====
+<code python>
+def intervall(n):
+    e = experiment(n)
+    etwapi = e[0]*4
+    s = e[1]*4
+    sbar = s/(n**0.5)
+    return [etwapi - 2*sbar, etwapi + 2*sbar]
+# Test-Code
+for i in range(10):
+    print(intervall(100))
+</code>
+===== Intervalle testen =====
+<code python>
+import math
+def vertrauensfrage(n,k):
+    ok = 0
+    for i in range(k):
+        bereich = intervall(n)
+        if (math.pi>bereich[0] and math.pi<bereich[1]):
+            ok += 1
+    return ok/k
+# Test-Code
+print(vertrauensfrage(100,1000))
+</code>
+===== Vertrauensintervall für die Vertrauensintervallswahrscheinlichkeitsabschätzung =====
+In der Funktion ''vertrauensfrage'' berechnen Sie die Standardabweichung der Schätzung des Anteils und damit ein Vetrauensintervall.
+Wie verhält sich das Intervall für kleine $n$? Siehe auch Tabelle einiger t-Quantile: https://de.wikipedia.org/wiki/Studentsche_t-Verteilung