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--- lehrkraefte:blc:math-2021hw:doppelspalt [2025/02/17 07:36] – Ivo Blöchliger
+++ lehrkraefte:blc:math-2021hw:doppelspalt [2025/02/24 07:50] (current) – [Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz] Ivo Blöchliger
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 Ziel ist es die Auslenkung $y(x,y,t)$ am Punkt $(x,y)$ zur Zeit $t$ zu bestimmen.
   * Bestimmen Sie erst mal die Funktion $y(p_x, p_y, t)$, d.h. die Auslenkung an der Punktquelle
+<hidden>
+\[
+  y(t) = \sin(t \cdot 2 \pi)
+\]
+</hidden>
   * Für einen beliebigen Punkt $P=(x,y)$ gehen Sie wie folgt vor:
     * Bestimmen Sie die Distanz zu $P_0$.
     * Aus der Wellenlänge, berechnen Sie die Zeit, die die Welle benötigt, um von $P_0$ zu $P$ zu gelangen.
     * Bestimmen Sie damit $y(x,y,t)$.
+<hidden>
+Distanz: $d = \sqrt{(x-p_x)^2+(y-p_y)^2}$
+Zeit: Pro Umdrehung eine Wellenlänge $\lambda$, also $\Delta t = \frac{d}{\lambda}$
+$y(x,y,t)$ hat eine «Verspätung» von $\Delta t$, also $y(x,y,t) = \sin(t\cdot 2\pi - \Delta t)$
+</hidden>
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 Öffnen Sie dieses Verzeichnis mit Visual Studio Code.
+Starten Sie die Datei 'kreis.py', was einen Haufen Bilder erzeugen wird.
 Oder auf der Kommandozeile, starten Sie
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 </code>
 und erstellen Sie dann mit ffmpeg (siehe Output) die Animation, die Sie mit einem Browser anschauen können.
+=== Punktwelle darstellen ===
 Öffnen Sie das Verzeichnis Visual Studio Code und fügen der Datei ''kreis.py'' nach der Initialisierung der Variablen ''bild'' (ca. Zeile 10) folgende Funktionen hinzu:
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-Für grössere Animationen können Sie eine .mp4 anstatt einer .gif Datei generieren.
+Für grössere Animationen können Sie eine .mp4 anstatt einer .gif Datei generieren. Passen Sie die Kommandozeil mit ''ffmpeg'' entsprechend an.
 ==== Mehrere Punktquellen ====
 Ändern Sie die Funktion ''farbe'' wie folgt: Platzieren Sie zwei Punktquellen unten am Bildrand, addieren Sie die Auslenkungen und passen Sie die Umrechnung auf das Intervall [0,1] entsprechend an.
+===== Farbcodierte Amplitude =====
+==== Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz ====
+Gegeben sind zwei Schwingungen gleicher Frequenz mit Amplituden $a_1$ und $a_2$ und Nullphasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$.
+Ziel ist es, die Amplitude und Nullphase der Summe beider Schwingungen zu berechnen.
+=== Drehende Vektoren (Zeiger) ===
+Für dieses Problem ist sehr nützlich, Schwingungen als Projektion einer Kreisbewegung zu betrachten, genauer als die $y$-Koordinate eines drehenden Vektors (Zeigers) um den Ursprung.
+Die Länge des Vektors entspricht der Amplitude, die Nullphase ist der orientierte Winkel, die der Vektor zur Zeit $t=0$ einschliesst.
+Weil die zu überlagernden Schwingungen die gleiche Frequenz haben, bleibt der Winkel zwischen beiden Vektoren (Zeigern) konstant. Es reicht darum, die Situation zum Zeitpunkt $t=0$ zu betrachten. Das hat ausserdem den Vorteil, dass die Nullphase $\varphi$ der Überlagung so gleich ersichtlich ist.
+Seien $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ die Vektoren der beiden Schwingungen zum Zeitpunkt $t=0$. Dann ist der entsprechende Vektor der Überlagerung $\vec{v} = \vec{v_1}+\vec{v_2}$. Von diesem Vektor entspricht die Länge $a$ der Amplitude der Überlagerung, und der orientierte Winkel von $\vec{v}$ gegenüber der $x$-Achse entspricht der gesuchten Nullphase $\varphi$.
+Die Komponenten der Vektoren $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ können wie folgt aufgeschrieben werden:
+<hidden>
+[\
+   \vec{v_1} = \begin{pmatrix} a_1 \cdot \sin(\varphi_1) \\ a_1 \cdot \cos(\varphi_1) \end{pmatrix}
+   \qquad
+   \vec{v_2} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot \sin(\varphi_2) \\ a_1 \cdot \cos(\varphi_2) \end{pmatrix}
+\]
+</hidden>
+Daraus folgt die Summe $\vec{v} = \vec{v_1}+\vec{v_2}$ und $a=\vec{v}$.
+=== Berechnung der Nullphase, «Winkel von $\vec{v}$» ===
+Wir suchen einen Winkel in $[0, 2\pi]$ (oder in $[-\pi, \pi]$). Aber auf jeden Fall auf dem ganzen Vollkreis. Alle Arcus-Funktionen liefern aber nur Winkel auf einem Intervall der Länge $\pi$ ($180^\circ$).
+Es ist sind also Fallunterscheidungen nötig.
+<hidden>
+Da die Bestimmung des orientierten Winkel eines Vektors gegenüber der $x$-Achse ein häufiges Problem ist, gibt es in den meisten Programmiersprachen (und auch direkt in Hardware) die Funktion
+\[
+   \text{atan2}(y,x) \mapsto [-\pi, \pi[
+\]
+In Python
+<code python>
+   phi = math.atan2(y,x)
+</code>
+</hidden>
+<code python>
+def ueberlagerung(phi1, phi2, a1=1, a2=1):
+  v1x = math.cos(phi1)*a1
+  v1y = math.sin(phi1)*a1
+  v2x = math.cos(phi2)*a2
+  v2y = math.sin(phi2)*a2
+  vx = v1x+v2x
+  vy = v1y+v2y
+  a = math.sqrt(vx*vx+vy*vy)   # Amplitude
+  phi = math.atan(vy, vx)  # Nullphase
+  return a,phi
+</code>
+=== HSV-Farbmodell ===
+https://de.wikipedia.org/wiki/HSV-Farbraum
+  * **H**: Hue in $[0,1]$ (oft auch $0^\circ$ bis $360^\circ$, <color #ff0000>$0$ entspricht Rot</color>, <color #00ff00>$\frac{1}{3}$ Grün</color>, und <color #0000ff>$\frac{2}{3}$ Blau</color>. <color #fff200>$\frac{1}{6}$ ist dann Gelb</color>, <color #00ffff>$\frac{1}{2}$ Cyan</color> und <color #ff00ff>$\frac{5}{6}$ Magenta</color>.
+  * **S**: Saturation in $[0,1]$, $0$ wäre Grau, $1$ Voll gesättigte Farbe
+  * **V**: Value in $[0,1]$: Helligkeit ($0$ ist Schwarz, $1$ volle Helligkeit).