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--- lehrkraefte:blc:math-2021hw:cosinus-und-sinussatz [2023/01/18 12:44] – [Cosinus-Satz] Ivo Blöchliger
+++ lehrkraefte:blc:math-2021hw:cosinus-und-sinussatz [2025/03/14 16:30] (current) – [Sinussatz] Olaf Schnürer
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+====== Cosinussatz ======
+Gegeben ist ein allgemeines Dreieck $ABC$ mit Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und Seiten $a$, $b$, $c$.
+Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke.
+===== Ziel =====
+Finden Sie eine Formel für $a^2$ aus den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$.
+Betrachten Sie erst einmal ein spitzwinkliges Dreieck.
+<hidden Hinweis 1>
+Drücken Sie $a^2$ mit der Höhe $h_c$ und der Strecke $H_cB$ aus, wobei $H_c$ der Höhenfusspunkt der Höhe $h_c$ ist.
+</hidden>
+<hidden Hinweis 2>
+Drücken Sie $h_c$ und $H_cB$ mit den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$ aus.
+</hidden>
+<hidden Hinweis 3>
+$H_cB$ ist gleich $c - AH_c$.
+</hidden>
+<hidden Hinweis 4>
+$h_c = \sin(\alpha) \cdot b$ und $H_cB = c - \cos(\alpha) \cdot b$
+</hidden>
+<hidden Hinweis 5>
+Ausquadrieren, $b^2$ ausklammern und Klammer vereinfachen.
+</hidden>
+<hidden Hinweis 6>
+$\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 = 1$
+</hidden>
+<hidden Lösung>
+$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$
+</hidden>
+Zeigen Sie, dass die Herleitung immer noch gültig ist, auch wenn $\beta>90^\circ$.
+====== Sinussatz ======
+Der Sinussatz besagt, dass in einem allgemeinen Dreieck je zwei Seiten im gleichen Verhältnis stehen wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
+Berechnen Sie z.B. die Höhe $h_c$ auf zwei verschiedene Arten, in denen je ein Sinus eines unterschiedlichen Winkels vorkommt.
+Setzen Sie die beiden Ausdrücke gleich und formen Sie die Gleichung so um, dass das gewünschte Resultat herauskommt.