Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- kurse:efcomputergrafik:kw4 [2020/01/22 20:07] – [Effektive Beschleunigung und Komponente in Bahnnormalebene] Ivo Blöchliger
+++ kurse:efcomputergrafik:kw4 [2020/02/12 20:06] (current) – [Beschleunigung bei konstantem Geschwindigkeisbetrag 1] Ivo Blöchliger
@@ Line 1: / Line 1: @@
+====== Nötige Methode für die Bezier-Klasse ======
+  * x(t): Liefert die Position zum Parameter $t$.
+  * v(t): Liefert die Geschwindigkeit zum Parameter $t$ ("exakt").
+  * len(tmin, tmax): Liefert die Länge der Kurve zwischen den Parametern tmin, tmax (angenähert).
+  * vnorm(t): Geschwindkeitsvektor mit Länge 1 zum Parameter $t$ ("exakt").
+  * adl(t): Die Ableitung von vnorm nach der **Länge** der Kurve
+  *
+===== Todo =====
+  * forward: Interpolation der verbleibenden Länge, wenn über die Kurve hinaus gegangen wird
+  * adl(t):
+  * a(t,v,g): Effektiver Beschleunigungsvektor beim Punkt $p(t)$, wenn der Geschwindigkeitsbetrag v und Inverse Erdbeschleunigung gegeben ist.
+  * koordsyst(t): Orthonormales Koordinatensystem (Liste von 3 Vektoren) mit $x$ parallel zu $v$, $y$ parallel zu $a$ und $z = x \times y$.
+<hidden Python Code>
+<code python bezier2.py>
+# -*- coding: utf-8 -*-
+from vector import Vector
+class Bezier:
+    def __init__(self,pts):
+        if len(pts)==4:
+            self.pts = [p.copy() for p in pts]
+        if len(pts)==3:
+            self.pts = [pts[0].copy(), 1/3*pts[0]+2/3*pts[1], 1/3*pts[2]*2/3*pts[1], pts[2].copy()]
+        if len(pts)==2:
+            self.pts = [pts[0].copy(), 2/3*pts[0]+1/3*pts[1], 1/3*pts[0]+2/3*pts[1], pts[1].copy()]
+    # Punkt für Parameter t (in [0,1])
+    def x(self,t):
+        return (1.0-t)**3*self.pts[0]+\
+*(1.0-t)**2*t*self.pts[1]+\
+*(1.0-t)*t**2*self.pts[2]+\
+               t**3*self.pts[3]
+    # Geschwindigkeit (dx/dt) in t-Parametrierung
+    def v(self,t):
+        return -3*(1.0-t)**2*self.pts[0]+\
+*(1.0-4*t+3*t**2)*self.pts[1]+\
+*(2*t-3*t**2)*self.pts[2]+\
+*t**2*self.pts[3]
+    # Normalisierte Geschwindigkeit
+    def vnorm(self,t):
+        return self.v(t).normalize()
+    def adl(self,t, dt=0.000001): # Ableitung der normalisierten Geschwindigkeit nach der Länge
+        dl = self.v(t).length*dt # (self.x(t+dt)-self.x(t-dt)).length
+        return (self.vnorm(t+dt/2)-self.vnorm(t-dt/2))/dl
+    # Effektive Beschleunigung im Punkt zum Parameter t, mit
+    # gegebenem Geschwindigkeitsbetrag und Gravitationsvektor
+    def aeff(self, t, v, g):
+        return self.adl(t)*v*v-g
+    # Orthonnormales Bahn-Koordinatensystem im Punkt zum Parameter t, mit
+    # gegebenem Geschwindigkeitsbetrag und Gravitationsvektor.
+    # Resultat (v,a, v cross a)
+    def koordsyst(self, t, v, g):
+        x = self.vnorm(t)
+        # Effektive Beschleunigung
+        aeff = self.aeff(t,v,g)
+        # Projektion von aeff auf x (d.h. normalisierte Geschwindigkeit)
+        av = x.dot(aeff)/(x.dot(x))*x
+        # Effektive Beschleunigung in Normalebene zur Bahn.
+        # (ist mathematisch rechtwinklig!)
+        aa = (aeff-av).normalize()
+        z = x.cross(aa)
+        return (x,aa,z)
+    # Laenge der Bezier-Kurve
+    def length(self, tmin=0.0, tmax=1.0, steps=1000):
+        l = 0.0
+        # Zeitschritt
+        dt = (tmax-tmin)/steps
+        for i in range(steps):
+            # Den i-ten Zeitpunkt von steps Zeitpunkten
+            ti = (i+0.5)*dt+tmin
+            l += self.v(ti).length*dt
+        return l
+    # Input: Startzeitpunkt t, Streckenlaenge l
+    # Output: Endzeitpunkt t oder -Restlaenge
+    def forward(self, l, startt, dt=0.0001):
+        lastl = l
+        lastt = startt
+        while (startt<1.0 and l>0):
+            dl = self.v(startt).length*dt
+            lastl = l
+            lastt = startt
+            l -= dl
+            startt += dt
+        if startt<1.0:  # Noch auf der Bezierkurve
+            return (startt-lastt)*lastl/(lastl+abs(l))+lastt
+        if l>0: # Es ist noch Laenge uebrig, also auf naechster Kurve
+            return -(lastl - (self.x(1)-self.x(lastt)).length)
+        return 1.0 # Sonst genau auf dem Ende der Kurve
+    # Zeichnet den Spline
+    # Achtung: Funktioniert nur, wenn diese Datei ausgeführt wird...
+    def draw(self, steps=1000):
+        move(self.pts[0][0], self.pts[0][1]);
+        for i in range(1,steps+1):
+            p = self.x(1.0*i/steps)
+            lineTo((p[0],p[1]))
+if __name__== "__main__":
+    from gpanel import *
+    makeGPanel(Size(600,600))
+    window(0, 599, 0, 599)
+    b = Bezier([Vector([100,500,0]), Vector([200,0,0]), Vector([300,300,0]), Vector([500,300,0])])
+    b.draw()
+    print(b.length(0,1,10000))
+    t = 0.0
+    while (t>=0.0):
+        p = b.x(t)
+        a = b.adl(t)
+        pa = p+a*10000
+        # move(p.x, p.y)
+        # circle(5)
+        line(p.x,p.y, pa.x, pa.y)
+        t = b.forward(10,t)
+        print(t)
+</code>
+</hidden>
+====== Bahn-Koordinatensystem ======
+===== Bewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag 1 =====
+Kreisbewegung mit Geschwindigkeitsbetrag 1:
+\begin{align*}
+x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
+v(t) & =  x'(t) = \textrm{i}\textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
+a(t) & =  v'(t) = -\frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
+\end{align*}
+Beträgt jetzt der Betrag der Geschwindigkeit $\lambda$ anstatt 1, ändern sich die Gleichungen wie  folgt:
+\begin{align*}
+x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
+v(t) & =  x'(t) =  \textrm{i}\lambda  \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
+a(t) & =  v'(t) =  -\lambda^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
+\end{align*}
+D.h., wenn der Betrag der Geschwindigkeit von $1$ auf $\lambda$ erhöht wird, wird der Betrag der Beschleunigung mit $\lambda^2$ multipliziert.
+===== Beschleunigung bei konstantem Geschwindigkeisbetrag 1 =====
+Sei $\ell(t)$ die Bogenlänge der Bezierkurve, also $\ell(t) = \int_0^t |p'(s)| \textrm{d}s$. Insbesondere gilt dann
+$\ell'(t) = |p'(t)|$. (Die Länge ändert sich so stark, wie der Punkt in $t$ schnell ist).
+Sei $t(\ell)$ die Umkehrfunktion, d.h. der $t$-Parameter für eine bestimmte Länge. Die Ableitung ist dann
+(nach der Formel $(f^{-1})' = \frac{1}{f'(f^{-1})}$ mit $f^{-1}=t$ und $f=\ell$):
+$$
+\frac{\textrm{d}t(\ell)}{\textrm{d}\ell} = \frac{1}{\ell'(t(\ell))} = \frac{1}{|p'(t(\ell))|}.
+$$
+(D.h. der Parameter $t$ ändert sich mit der Länge indirekt proportional zur $t$-Geschwindigkeit).
+Anstatt der "normalen" Parametrierung in $t \in [0,1]$, stellen wir uns eine Parametrierung $p_{\ell}$ vor, so dass die Bogenlänge der Bezierkurve von $p_{\ell}(0)$ bis $p_{\ell}(\ell)$ genau $\ell$ beträgt.
+Es gilt $p_{\ell}(\ell) = p(t(\ell))$ und
+\[
+v_n(t(\ell)) := \frac{\textrm{d}p_{\ell}(\ell)}{\textrm{d} \ell} = p'(t(\ell)) \cdot \frac{\textrm{d}t(\ell)}{\textrm{d}\ell} =
+p'(t(\ell)) \cdot \frac{1}{|p'(t(\ell))|}
+\]
+d.h. man erhält den auf den Betrag 1 normalisierten Geschwindgkeitsvektor (was ja genau der Sinn der $p_{\ell}$ Parametrierung ist).
+Die zweite Ableitung von $p_{\ell}$ nach $\ell$ ergibt die Beschleunigung $a_n(\ell)$, die rechtwinklig auf $v_n$ steht (sonst würde sich der Betrag von $v_n$ ändern).
+Diese zweite Ableitung berechnen wir nummerisch durch Ableiten der ersten:
+\[
+a_n(t(\ell)) := \frac{\mathrm{d}v_n(\ell)}{\mathrm{d}\ell} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{\ell(t+\Delta t)-\ell(t-\Delta t)} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{|p(t+\Delta t)-p(t-\Delta t)|}
+\]
+Algebraisch erhält man folgendes:
+\[
+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ell} \left(\frac{p'}{|p'|}\right) =
+\frac{p'' - e \cdot \left( e \cdot p''\right)}{|p'|^2}
+\]
+mit $e=\frac{p'}{|p'|}$. Das ist bis auf den Faktor $|p'|^2$ das Gram-Schmidt Verfahren. Sachen gibts...
+===== Effektive Beschleunigung und Komponente in Bahnnormalebene =====
+Sei $v_{\text{eff}}(t) \in \mathbb{R}$ der Betrag der effektiven Bahngeschwindigkeit im Punkt zum entsprechenden $t$-Parameter.
+Die effektive Beschleunigung ist also
+\[
+a_{\text{eff}}(t) =  (v_{\text{eff}}(t))^2 \cdot a_n(t) -g
+\]
+wobei $g$ die Gravitationsbeschleunigung ist.
+Diese Beschleunigung zerlegen wir in zwei Komponenten, eine tangential zur Bahn $a_t$, eine rechtwinklig dazu $a_r$. Die Komponente $a_t$ sorgt für die Beschleunigung des Zugs, die Komponente $a_r$ ist für die Bahnneigung relevant. Diese sollte nämlich rechtwinklig zu $a_r$ sein.
+$a_t$ ist die Projektion von $a_{\text{eff}}$ auf $v_n$. Es gilt (mit $|v_n|=1$):
+\[
+a_t = (\vec a_{\text{eff}} \cdot \vec v_n) \cdot \vec v_n \qquad \text{Skalarprodukt in der Klammer!}
+\]
+Und damit
+\[
+a_r = a_{\text{eff}}-a_t
+\]
+Damit bilden wir ein Koordinatensystem $K(t)$ mit Ursprung $p(t)$ und Einheitsvektoren
+\[
+e_1 = v_n(t), \qquad e_2 = \frac{a_r(t)}{|a_r(t)|}, \qquad e_3 = v_n(t) \times a_r(t) \cdot \frac{1}{|a_r(t)|}
+\]
+===== Bau der Bahn =====
+In geeigneter Schrittgrösse der Kurve entlang gehen, an jedem Punkt mit $K(t)$ Schienen-Punkte definieren.
+Eventuell Stützen definieren.
+Blender Code analog zur Generierung der glatten Kurve.
+===== Simulation der Bewegung =====
+Zustand: $t$ (Ort auf der Bahn), $v_{\text{eff}}$ (aktueller Betrag der Geschwindigkeit)
+Schritt: Zeit um 1/framerate vorrücken, der Bahn folgen (z.B. um die Strecke, die mit $v_{\text{eff}}$ in dieser Zeit zurückgelegt würde, oder genauere schrittweise Simulation). Aus der Höhendifferenz und eventuell Reibung die neue Geschwindigkeit berechnen.
+Kamera entsprechend positionieren und Keyframe setzen:
+<code python>
+cam = bpy.data.objects['Camera']
+frame = 0
+cam.animation_data_clear()
+cam.matrix_world = ( (y.x,y.y,y.z,1), (-an.x, -an.y, -an.z, 1),  (-vv.x,-vv.y,-vv.z,1),  (pp.x, pp.y, pp.z, 0))
+cam.keyframe_insert(data_path="rotation_euler", frame=frame)
+cam.keyframe_insert(data_path="location", frame=frame)
+frame+=1
+</code>
+Siehe auch https://blender.stackexchange.com/questions/108938/how-to-interpret-the-camera-world-matrix
+D.h. die erste Koordinatenrichtung ist rechts, die zweite oben und die dritte ist entgegen der Blickrichtung.
+===== Blender =====
+Bezier Klasse laden in Blender:
+<code python bahn.py>
+# Nimmt die Bezierkurven aus myspline und erzeugt
+# die Bahn und die Kamera-Animation
+# Import in Blender 2.8 (see https://devtalk.blender.org/t/2-80-using-multiple-internal-scripts-breaking-change/6980 )
+Bezier = bpy.data.texts["bezier.py"].as_module().Bezier
+obj = bpy.data.objects['mySpline']
+# Kurvenpunkte auslesen
+mypoints=[]
+if obj.type == 'CURVE':
+    for subcurve in obj.data.splines:
+        curvetype = subcurve.type
+        if curvetype == 'BEZIER':
+            for bezpoint in subcurve.bezier_points:
+                mypoints.append(bezpoint.handle_left)
+                mypoints.append(bezpoint.co)
+                mypoints.append(bezpoint.handle_right)
+# Sammlung von Bezierkurven erzeugen
+mySplines = []
+numpoints = len(mypoints)
+totalLength = 0
+for i in range(numpoints//3):
+    mySplines.append(Bezier((mypoints[i*3+1],
+        mypoints[i*3+2],
+        mypoints[(i*3+3)%numpoints],
+        mypoints[(i*3+4)%numpoints])))
+    totalLength+=mySplines[-1].length()
+# Bahn erzeugen
+try:
+    bpy.ops.collection.objects_remove(bpy.data.collections['Rails'])
+except:
+    pass
+railsCol = bpy.data.collections.new('Rails')
+linksCol = bpy.data.collections.new('RailLinks')
+railsCol.children.link(linksCol)
+bpy.context.scene.collection.children.link(railsCol)
+abstand = 0.2  # Bahnpunkte
+ldone = 0  # Erledigte Bahnstrecke
+i=0  # Aktuelle Bezierkurve
+t = 0 # Aktuelle t-Parameter
+g = Vector(0,0,-9.81) # Gravitationbeschleunigung
+hmax = 40  # Hoehe fuer v=0
+# Bahnpunkte: Ctrl-Links, Knoten, Ctrl-Rechts
+railspts=[[],[],[]]  # Bahnpunkte, Schiene L, Schiene R, Träger
+while(ldone<totalLength):
+    dl = abstand;
+    tnext = -1
+    while(tnext<0):
+        tnext = mySplines[i].forward(dl, t)
+        if (tnext<0) : # We get the negative remaining length
+            i=(i+1)%numSplines
+            t = 0
+            dl=abs(tnext)
+        else:
+            ldone+=dl
+    t = tnext
+    # Potentielle Energie mgh
+    ekin = (hmax-mySplines[i].x(t).z)*abs(g.z)
+    # Ek = 1/2 * m * v^2
+    v = (2*ekin)**0.5
+    # Koordinatensystem (vorne, oben, rechts)
+    k = mySplines[i].koordsyst(t,v,g)
+    # Bahnpunkte berechnen
+    #
+    #
+    #
+# Blender-Kurven aus den Bahnpunkten erzeugen
+for j in range(3):
+    curvedata = bpy.data.curves.new(name="rail"+str(j), type='CURVE')
+    curvedata.dimensions = '3D'
+    objectdata = bpy.data.objects.new("rail"+str(j), curvedata)
+    objectdata.location = (0,0,0)
+    objectdata.data.bevel_depth = 0.01
+    railsCol.objects.link(objectdata)
+    polyline = curvedata.splines.new('BEZIER')
+    polyline.bezier_points.add(len(railspts[j])-1)
+    for idx, (h1, knot, h2) in enumerate(railspts[j]):
+        point = polyline.bezier_points[idx]
+        point.co = knot
+        point.handle_left = h1
+        point.handle_right = h2
+        point.handle_left_type = 'ALIGNED'
+        point.handle_right_type = 'ALIGNED'
+</code>