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--- kurse:ef05a-2021:kurven:beziergeometrisch [2021/09/22 09:25] – created Ivo Blöchliger
+++ kurse:ef05a-2021:kurven:beziergeometrisch [2021/11/04 08:39] (current) – [Explizite Formel] Ivo Blöchliger
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+====== Geometrische Definition von Bézierkurven ======
+Eine Bézierkurve $n$-ten Grades ist definiert durch $n+1$ **Kontrollpunkte**. Die einzelnen Punkte auf der Kurve lassen sich durch einen Parameter $t \in [0,1]$ parametrieren.
+===== Grad 1 =====
+Die Bezierkurve vom Grad 1 mit den Kontrollpunkten $p_0$ und $p_1$ entspricht der Menge aller konvexen Kombinationen der beiden Punkte:
+$$
+p(t) = (1-t) \cdot p_0 + t \cdot p_1 =: I(t, p_0, p_1)
+$$
+Die Funktion $I$ interpoliert linear zwischen $p_0$ und $p_1$ für $t \in [0,1]$.
+====== Programmierung einer Vektor-Klasse in Python ======
+Ziel ist es, komfortabel mit Vektoren arbeiten zu können. Insbesondere benötigen wir
+  * Addition, Subtraktion und
+  * Multiplikation mit einer Zahl.
+Aktueller Code: {{kurse:ef05a-2021:kurven:vector-class.zip}}
+===== Rekursiver Code =====
+Die Berechnung nimmt eine Liste von $n+1$ Punkten entgegen, und berechnet damit $n$ neue Punkte. Wenn $n=1$ ist man fertig, ansonsten reduziert man die Liste in gleicher Weise weiter.
+===== Explizite Formel =====
+Wir werden die allgemeine Formel formal herleiten.
+{{kurse:ef05a-2021:kurven:bezier-explizit.jpg}}
+Man kann dies auch direkt rechnerisch algebraisch tun, ist aber ziemlich mühsam. Und TR ist dafür, naja, bedingt zu gebrauchen.
+Betrachtung der Polynome, die die einzelnen Punkte multiplizieren.
+  * Konvexe Kombination
+  * Graphen der Polynome
+==== Weitere Herleitungen ====
+Mit Hilfe des TRs soll die explizite Formel für den Punkt $P(t)$ auf der kubischen Bezierkurve berechnet werden, die durch die 4 Punkte $a$, $b$, $c$, $d$ definiert wird.
+  * Wenn Sie den Ausdruck haben, solle Sie ausmultiplizieren Sie mit ''expand()''.
+  * Klammern Sie erst $a$ aus, mit ''factor(ausdruck, a)''. Notieren Sie sich den Faktor
+<hidden TR Akrobatik>
+<code txt>
+(1-t)*a+t*b -> i(t,a,b)
+seq(i(t,x[n],x[n+1]),n,1,dim(x)-1) -> r(x)
+{a,b,c,d} -> x
+r(r(r(x)))[0] -> p
+seq(factor(polyCoeffs(factor(expand(p),x[n]),x[n]))[1]), n, 1, 4)))
+</code>
+</hidden>
+==== Mit Maxima ====
+<code txt>
+x:[a,b,c,d];
+i(t,a,b):=(1-t)*a+t*b;
+r(l):=makelist(i(t,l[i],l[i+1]), i, 1, length(l)-1);
+p:r(r(r(x)))[1];
+create_list(factor(coeff(expand(p),v)),v,x);
+</code>
+===== Ableitungen =====
+Gegen ist die kubische Bézier-Kurve $p(t)$ durch die vier Kontrollpunkte $p_0$ bis $p_3$. Wir möchten hier die Ableitungen von $p(t)$ nach $t$ bestimmen und interpretieren.
+====== Implementierung einer Bézier-Klasse (kubisch) ======
+  * Array von 4 Vektoren
+  * $p(t)$
+  * $v(t)$
+  * Subdivision in zwei Bézier-Kurven.